18 Тип 16 № 1336 i Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Решение:

1) Рассмотрим четырехугольник AMKC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

Углы AKC и AMC прямые (так как AK и CM - высоты), поэтому сумма углов BAC и KMC равна 180°.

\[\angle BAC + \angle KMC = 180^\circ\]

Так как ∠BMC = 140°, то смежный с ним угол ∠KMC = 180° - 140° = 40°.

Тогда ∠BAC = 180° - 40° = 140°.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем углы при основании BC:

\[\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 140^\circ}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ\]

Ответ: ∠BAC = 140°, ∠ABC = ∠ACB = 20°