18. Тип 17 № 9294. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 7, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть (x) - количество мышек в первую ночь, а (y) - количество сыра, которое съела каждая мышка в первую ночь. Тогда общее количество съеденного сыра в первую ночь равно (x \cdot y = 9). Во вторую ночь пришло 7 мышек, и каждая съела в три раза меньше сыра, чем в первую ночь, то есть \(\frac{y}{3}\). Пусть (z) - количество головок сыра, которое хранилось в погребе изначально. После первой ночи осталось (z - 9) головок сыра. Во вторую ночь эти головки были съедены 7 мышками, каждая из которых съела \(\frac{y}{3}\). Значит, (7 \cdot \frac{y}{3} = z - 9). Мы знаем, что (xy = 9), значит (y = \frac{9}{x}). Подставим это в уравнение (7 \cdot \frac{y}{3} = z - 9): (7 \cdot \frac{9}{3x} = z - 9) (\frac{63}{3x} = z - 9) (\frac{21}{x} = z - 9) Так как в первую ночь все мышки съели сыр поровну, и всего было съедено 9 головок, то количество мышек должно быть делителем числа 9. Возможные значения для (x): 1, 3, 9. Если (x = 1), то \(\frac{21}{1} = z - 9\), (z = 21 + 9 = 30). Если (x = 3), то \(\frac{21}{3} = z - 9\), (7 = z - 9), (z = 16). Если (x = 9), то \(\frac{21}{9} = z - 9\), \(\frac{7}{3} = z - 9\), (z = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3}), что не является целым числом, поэтому этот вариант не подходит. Проверим варианты (z = 30) и (z = 16): Если (z = 30), то после первой ночи осталось (30 - 9 = 21) головка сыра. Во вторую ночь 7 мышек съели \(\frac{9}{3} = 3) головки каждая, всего (7 \cdot 3 = 21) головку. Это подходит. Если (z = 16), то после первой ночи осталось (16 - 9 = 7) головок сыра. Во вторую ночь 7 мышек съели \(\frac{9}{3} = 3) головки каждая, всего (7 \cdot 3 = 21) головку. Это не подходит, так как осталось только 7 головок. Таким образом, изначально в погребе хранилось 30 головок сыра. **Ответ: 30**