16. Тип 16 № 324868. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Пусть дуги, на которые делят окружность вершины треугольника, равны 3x, 4x и 11x. Вся окружность равна 360 градусов. Значит, 3x + 4x + 11x = 360. 18x = 360. x = 20. Тогда дуги равны: 3x = 60 градусов, 4x = 80 градусов, 11x = 220 градусов. Угол, опирающийся на дугу в 60 градусов, равен 30 градусам (вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается). Меньшая сторона треугольника лежит напротив меньшего угла, то есть напротив угла в 30 градусов. По теореме синусов: a / sin(A) = 2R. 14 / sin(30) = 2R. 14 / (1/2) = 2R. 28 = 2R. R = 14. Ответ: 14.