18 Тип 17 № 9852 Аня загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 391. Какую цифру зачеркнула Аня? Запишите решение и ответ.

Пусть загаданное число имеет вид $$\overline{abcd}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$, и $$d$$ - цифры от 0 до 9, причем $$a
eq 0$$. Тогда число можно представить как $$1000a + 100b + 10c + d$$. Сумма цифр равна $$a+b+c+d$$. После вычитания суммы цифр из исходного числа, получаем: $$1000a + 100b + 10c + d - (a+b+c+d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c)$$ Таким образом, полученная разность всегда делится на 9. Это означает, что сумма цифр полученной разности также должна делиться на 9. У нас есть число 391. Пусть $$x$$ - зачеркнутая цифра. Тогда $$3+9+1+x$$ должно делиться на 9. То есть, $$13+x$$ должно делиться на 9. Возможные значения для $$13+x$$: 18, 27, 36, и так далее. Если $$13+x = 18$$, то $$x = 18-13 = 5$$. Если $$13+x = 27$$, то $$x = 27-13 = 14$$, что невозможно, так как $$x$$ - цифра. Итак, единственное возможное значение для зачеркнутой цифры - 5. Проверим. Если была зачеркнута цифра 5, то полное число было 3915. Сумма цифр равна $$3+9+1+5 = 18$$, что делится на 9. Значит, это возможно. **Ответ: Зачеркнута цифра 5.** **Развернутое объяснение для ученика:** Представь, что Аня загадала какое-то четырехзначное число. Мы не знаем какое, поэтому обозначим его цифры буквами $$a, b, c, d$$. Это значит, что число можно записать как $$1000 \cdot a + 100 \cdot b + 10 \cdot c + d$$. Например, если Аня загадала число 1234, то $$a=1$$, $$b=2$$, $$c=3$$, $$d=4$$. Затем Аня вычла из этого числа сумму его цифр, то есть $$a+b+c+d$$. Самое главное, что нужно понять – полученный результат обязательно делится на 9. Почему? Потому что если мы вычтем из числа сумму его цифр, то получим $$999 \cdot a + 99 \cdot b + 9 \cdot c$$, а это всегда делится на 9, так как каждое слагаемое делится на 9. После этого Аня зачеркнула одну цифру и получила число 391. Если мы прибавим зачеркнутую цифру к сумме цифр числа 391, то результат должен делиться на 9. Мы попробовали все возможные цифры от 0 до 9, и только когда зачеркнутая цифра равна 5, сумма $$3+9+1+5 = 18$$ делится на 9. Значит, зачеркнутая цифра – это 5.