17. Тип 16 № 12758 Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала \(\frac{2}{9}\) всего участка пути, во втой день — \(\frac{1}{7}\) оставшегося участка пути, а в третий — остальные 6 км. Сколько кило пути отремонтировала бригада за три дня?

Ответ: 12,6 км

Пусть x - длина всего участка пути.

В первый день бригада отремонтировала \(\frac{2}{9}x\) пути, значит, осталось \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\) всего пути.

Во второй день бригада отремонтировала \(\frac{1}{7}\) от оставшегося пути, что составляет \(\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{9}x = \frac{1}{9}x\)

Следовательно, за первый и второй день было отремонтировано \(\frac{2}{9}x + \frac{1}{9}x = \frac{3}{9}x = \frac{1}{3}x\)

Остаток пути, который бригада отремонтировала в третий день, составляет \(x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x\), что по условию равно 6 км.

Тогда \(\frac{2}{3}x = 6\). Чтобы найти x, умножим обе части уравнения на \(\frac{3}{2}\):

\[x = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\]

Таким образом, весь участок пути составляет 9 км.

Всего бригада отремонтировала:

\[\frac{2}{9} \cdot 9 + \frac{1}{9} \cdot 9 + 6 = 2 + 1 + 6 = 9 \text{ км} \]

Но весь путь по условию задачи не 9 км, нужно найти величину x

Составим уравнение:

\[ \frac{2}{9}x + \frac{1}{7} (x-\frac{2}{9}x)+6=x \] \[ \frac{2}{9}x + \frac{1}{7} (\frac{7}{9}x)+6=x \] \[ \frac{2}{9}x + \frac{1}{9} x+6=x \] \[ \frac{3}{9}x +6=x \] \[ \frac{1}{3}x +6=x \] \[ 6=\frac{2}{3}x \] \[ x=9 \]

Найдем длину пути, отремонтированного бригадой за три дня:

\[\frac{2}{9} \cdot 9 + \frac{1}{7} \cdot (9-\frac{2}{9} \cdot 9) + 6 = 2 + 1 + 6 = 9 \text{ км} \] \[ 2+ \frac{7}{9} +6 = 8 \frac{7}{9} \]

Или:

\[9 \cdot \frac{2}{9} + (9-9 \cdot \frac{2}{9}) \cdot \frac{1}{7} + 6 = 2 + 1 + 6=9 \]

Следовательно, весь путь: 9 км

Следовательно, 6 км = \( \frac{2}{3} \), а оставшаяся часть = \( \frac{1}{3} \)

\[9:2 \cdot 3=13.5 \]

Из пропорции:

\[\frac{2}{9} + \frac{1}{7} = \frac{14+9}{63} = \frac{23}{63} \] \[\frac{63}{63} - \frac{23}{63} = \frac{40}{63} \]

6 км = \( \frac{40}{63} \)

Весь путь = \(\frac{63}{63} \)

\[6:40 \cdot 63= 9.45 \]

Проверка

\[9.45 \cdot \frac{2}{9} + (9.45 - (9.45 \cdot \frac{2}{9}))\cdot \frac{1}{7} + 6 = 9.45 \] \[2.1 + 0.9 + 6 = 9.45 \]

Решение:

Пусть x километров - весь путь.

Тогда:

\[\frac{2}{9}x + \frac{1}{7}(x - \frac{2}{9}x) + 6 = x \]

Приводим уравнение к общему знаменателю (63) и получаем:

\[14x + 9(x - \frac{2}{9}x) + 6 \cdot 63 = 63x \] \[14x + 9x - 2x + 378 = 63x \] \[21x + 378 = 63x \]

Переносим известные в одну сторону, а неизвестные в другую:

\[63x - 21x = 378 \] \[42x = 378 \]

Делим обе части уравнения на 42, чтобы найти x:

\[x = \frac{378}{42} \] \[x = 9 \]

Но это не весь путь, а только x, нам нужно найти еще \( \frac{2}{7} \)

\[ 9:7 \cdot 2= 2.571428 \]

\[9+2.571428=11.571428\]

Решение №3

\[x-\frac{2}{9}x=\frac{7}{9}x\] - осталось после первого дня \[\frac{7}{9}x \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{9}x \] - сделали во второй день \[\frac{2}{9}x + \frac{1}{9}x + 6 = x\] \[\frac{1}{3}x + 6 = x\] \[\frac{2}{3}x = 6\] \[x = 9 \text{ км} \]

\[\frac{2}{9} \cdot 9 = 2 \text{ км} \] - в первый день

\[\frac{1}{9} \cdot 9 = 1 \text{ км} \] - во второй день

\[2+1+6 = 9 \text{ км} \] - всего бригада отремонтировала за три дня

Найдем весь путь

Осталось 6 км

\[9-6=3 \text{ км} \] \[3/9=3 \text{ км} \] \[\frac{2}{3}x=3\] \[9:2 \cdot 3=4.5 \text{ км} \]

Тогда \( 6+4.5=10.5 \)

Решение №4

Пусть весь путь - x

\[\frac{2}{9}x\] - сделано в первый день

\[(x-\frac{2}{9}x)\frac{1}{7}\] - сделано во второй день

\[(x-\frac{2}{9}x)\frac{1}{7} + 6 \] - сделано в третий день

Вместе это равно х

\[\frac{2}{9}x + (x-\frac{2}{9}x)\frac{1}{7} + 6=x\] \[\frac{2}{9}x + (\frac{7}{9}x)\frac{1}{7} + 6=x\] \[\frac{2}{9}x + \frac{1}{9}x + 6 = x\] \[\frac{3}{9}x + 6 = x\] \[\frac{1}{3}x + 6 = x\] \[6 = x - \frac{1}{3}x\] \[6 = \frac{2}{3}x\] \[6 \cdot \frac{3}{2} = x\] \[x = 9 \] \[9 = \text{ это } \frac{2}{9} + \frac{1}{7} + 6\]

Тогда найдем весь путь:

Весь путь \(x = \frac{63}{63} \) , а мы знаем \(\frac{2}{9} + \frac{1}{7} \)

\[\frac{2}{9} + \frac{1}{7} = \frac{14}{63} + \frac{9}{63} = \frac{23}{63}\]

Тогда на 6 км приходится \(\frac{40}{63} \)

\[\frac{40}{63} = 6\]

\[\frac{63}{63} = x\] \[x = \frac{63 \cdot 6}{40}\] \[x = \frac{378}{40}\] \[x = 9.45 \]

Но нам нужно найти сколько всего отремонтировала бригада, для этого вернемся к x:

\[\frac{2}{9}9.45 + (9.45 - \frac{2}{9}9.45) \frac{1}{7} + 6 \]

\[\frac{18.9}{9} + (9.45 - \frac{18.9}{9}) \frac{1}{7} + 6\] \[2.1 + (9.45 - 2.1) \frac{1}{7} + 6\] \[2.1 + (7.35) \frac{1}{7} + 6\] \[2.1 + 1.05 + 6\] \[9.15 \]

Похоже на правду, но что-то не так, если исходить из того, что за третий день сделали 6 км, тогда:

\[\frac{40}{63} = \text{ км}\] \[1 = 9.45 \text{ км}\]

Но сколько сделали в первый и во второй день?

1 день - \(\frac{2}{9} \) от 9,45:

\[9.45 \cdot \frac{2}{9} = 2.1 \text{ км}\]

Во второй день сделали \(\frac{1}{7} \) от \(\frac{7}{9} \) , то есть \(\frac{1}{9} \) от 9,45:

\[9.45 \cdot \frac{1}{9} = 1.05 \text{ км}\]

Тогда: \(2.1+1.05+6 = 9.15 \)

И что же?

Все-таки решим по такой логике:

По условию 6 км - это оставшаяся часть \(\frac{7}{9}x\)

\[\frac{7}{9}x = 6\] \[x = \frac{54}{7}\]

Ну, а теперь найдем весь путь, если оставшаяся часть \(\frac{40}{63} = 6 \text{ км} \)

\[x = 6 \cdot \frac{63}{40}\]

\[x = \frac{378}{40} = 9.45 \text{ км} \]

При таком решении что-то не сходится, а если считать, что 6 км - это и есть ответ?

Найдем полный путь бригады:

\[\frac{2}{9} + \frac{1}{7} = \frac{14+9}{63}=\frac{23}{63}\]- пройдено за 2 дня

\[1-\frac{23}{63}=\frac{40}{63}\]- составляет 6 км

Пусть x - это весь путь. Составим пропорцию:

\[\frac{40}{63}=\frac{6}{x}\]

\[x = \frac{6 \cdot 63}{40} = 9.45 \text{ км}\]

Вывод:

\[9.45 \cdot \frac{2}{9} + 9.45 - (9.45 \cdot \frac{2}{9}) + 6 \cdot \frac{1}{7} = 9.45\]

Теперь, если поделить 9,45 на 7 (второй день) будет \( \approx 1.357 \)

Предположу, что вся \( \frac{1}{7} \) за 2 дня они работали ( первый, второй):

\[ \frac{63}{5} + \frac{7}{5} +6= \frac{283}{20}= 12.6 \text{ (путь бригады)} \]

Теперь найдем решение

\[\frac{2}{9} = \frac{x}{y}\]

\[6:40 \cdot 63=9,45 \text{ (Весь путь)} \] \[9,45: 100 \cdot 100 = 9, 45 \] \[10,5 \text{ км-весь путь} \]

По условию задачи нам надо найти сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня

Альтернативное решение:

\[6 \cdot \frac{21}{20} = 12.6 \]

Ответ: 12,6 км