Тип 16 № 356635 Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АB и CD пересекаются в точке К. BK = 8, DK = 12, BC = 6. Найдите AD.

По свойству секущихся, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

$$BK cdot AK = DK cdot CK$$

Пусть $$AD = x$$. Тогда $$AK = AB + BK$$ и $$CK = CD + DK$$.

Также известно, что четырехугольник ABCD вписан в окружность. По свойству пересекающихся хорд выполняется соотношение:

$$BK \cdot AK = DK \cdot CK$$

Из подобия треугольников $$\triangle BCK$$ и $$ \triangle DAK$$ следует:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{6}{AD} = \frac{8}{12}$$

$$AD = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9$$

Ответ: 9