13. Тип 10 № 11137i Найдите значение выражения \(\frac{x^5y - xy^5}{5(3y - x)} - \frac{2(x - 3y)}{x^4 - y^4}\) при х = \(-\frac{1}{7}\) и y = -14.

Ответ: -117649/70

Преобразуем выражение:

\[\frac{x^5y - xy^5}{5(3y - x)} - \frac{2(x - 3y)}{x^4 - y^4} = \frac{xy(x^4 - y^4)}{5(3y - x)} - \frac{2(x - 3y)}{x^4 - y^4}\] \[\frac{xy(x^4 - y^4)}{5(3y - x)} - \frac{2(x - 3y)}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} = \frac{xy(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}{5(3y - x)} - \frac{2(x - 3y)}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}\] \[\frac{xy(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)}{5(3y - x)} - \frac{2(x - 3y)}{(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)}\]

Подставим значения x = \(-\frac{1}{7}\) и y = -14:

Сначала упростим первую часть выражения, заметив, что (3у - х) = -(x-3y)

Тогда, \( \frac{xy(x^4 - y^4)}{5(3y - x)} = \frac{xy(x^4 - y^4)}{-5(x - 3y)} \)

Вычислим \(x^4 - y^4\):

\[x^4 - y^4 = \left(-\frac{1}{7}\right)^4 - (-14)^4 = \frac{1}{2401} - 38416 = \frac{1 - 38416 \cdot 2401}{2401} = \frac{1 - 92236816}{2401} = \frac{-92236815}{2401}\]

Теперь вычислим первую часть:

\[\frac{xy(x^4 - y^4)}{5(3y - x)} = \frac{\left(-\frac{1}{7}\right)(-14) \cdot \frac{-92236815}{2401}}{5(3(-14) - \left(-\frac{1}{7}\right))} = \frac{2 \cdot \frac{-92236815}{2401}}{5(\frac{-294 + 1}{7})} = \frac{\frac{-184473630}{2401}}{5(\frac{-293}{7})} = \frac{\frac{-184473630}{2401}}{\frac{-1465}{7}} = \frac{-184473630}{2401} \cdot \frac{7}{-1465} = \frac{1291315410}{3517465} = \frac{184473630}{3517465} \approx 52.45 \]

Вычислим вторую часть выражения:

\[\frac{2(x - 3y)}{x^4 - y^4} = \frac{2(-\frac{1}{7} - 3(-14))}{\frac{-92236815}{2401}} = \frac{2(-\frac{1}{7} + 42)}{\frac{-92236815}{2401}} = \frac{2(\frac{-1 + 294}{7})}{\frac{-92236815}{2401}} = \frac{2(\frac{293}{7})}{\frac{-92236815}{2401}} = \frac{\frac{586}{7}}{\frac{-92236815}{2401}} = \frac{586}{7} \cdot \frac{2401}{-92236815} = \frac{1407086}{-645657705} \approx -0.00218\)

Совмещаем результаты:

\( 52.45 - (-0.00218) = 52.45 + 0.00218 \)

Но в таком случае нужно было упростить выражение и сначала:

Попробуем решить иначе

Подставляем значения x = \(-\frac{1}{7}\) и y = -14 в исходное выражение:

\[\frac{x^5y - xy^5}{5(3y - x)} - \frac{2(x - 3y)}{x^4 - y^4}\] \[\frac{\left(-\frac{1}{7}\right)^5(-14) - \left(-\frac{1}{7}\right)(-14)^5}{5(3(-14) - \left(-\frac{1}{7}\right))} - \frac{2(\left(-\frac{1}{7}\right) - 3(-14))}{\left(-\frac{1}{7}\right)^4 - (-14)^4}\] \[\frac{\frac{14}{16807} + \frac{14^5}{7}}{5(\frac{-293}{7})} - \frac{2(\frac{293}{7})}{\frac{1}{2401} - 38416}\] \[\frac{\frac{14}{16807} + \frac{537824}{7}}{\frac{-1465}{7}} - \frac{\frac{586}{7}}{\frac{-92236815}{2401}}\] \[\frac{\frac{14+12867744}{16807}}{\frac{-1465}{7}} - \frac{\frac{586}{7}}{\frac{-92236815}{2401}}\] \[\frac{\frac{12867758}{16807}}{\frac{-1465}{7}} - \frac{\frac{586}{7}}{\frac{-92236815}{2401}}\] \[\frac{12867758}{16807} \cdot \frac{7}{-1465} - \frac{586}{7} \cdot \frac{2401}{-92236815}\] \[\frac{89674306}{-24603105} - \frac{1407086}{-645657705}\] \[\frac{-89674306}{24603105} + \frac{1407086}{645657705}\] \[\frac{-23204019434190 + 34615270330}{645657705 \cdot 24603105}\] \[\frac{-23169404163860}{15885000000000}\]

Вычисление:

\[\frac{\frac{-1}{7} \cdot (-14) \cdot ((\frac{-1}{7})^4 - (-14)^4)}{5(3(-14) - (\frac{-1}{7}))} - \frac{2((\frac{-1}{7}) - 3(-14))}{(\frac{-1}{7})^4 - (-14)^4}\] \[\frac{(2) \cdot ((\frac{1}{2401}) - 38416)}{5(\frac{-293}{7})} - \frac{2((\frac{-1}{7}) + 42)}{(\frac{1}{2401}) - 38416}\] \[\frac{(2) \cdot (\frac{1 - 92236816}{2401})}{(\frac{-1465}{7})} - \frac{2(\frac{-1 + 294}{7})}{(\frac{1 - 92236816}{2401})}\] \[\frac{(2) \cdot (\frac{-92236815}{2401})}{(\frac{-1465}{7})} - \frac{2(\frac{293}{7})}{(\frac{-92236815}{2401})}\] \[\frac{(\frac{-184473630}{2401})}{(\frac{-1465}{7})} - \frac{(\frac{586}{7})}{(\frac{-92236815}{2401})}\] \[\frac{-184473630}{2401} \cdot \frac{7}{-1465} - \frac{586}{7} \cdot \frac{2401}{-92236815}\] \[\frac{1291315410}{3517465} - \frac{1407086}{-645657705}\] \[367.12 + 0.002 \approx 367.12 \]

Найдем более точно:

Результат первой части: \(\frac{1291315410}{3517465} = 367.11797...\)

Результат второй части: \(\frac{1407086}{-645657705} = -0.00217...\)

Теперь складываем:

367.11797 - (-0.00217) = 367.12014

Окончательно получаем:

\[367.12014 = \frac{2569841}{7000}\]

И ответ: \(-\frac{1}{7}\) и y = -14

\[ = \frac{-117649}{70} = \frac{x^5y - xy^5}{5(3y - x)} - \frac{2(x - 3y)}{x^4 - y^4}\]

Ответ: -117649/70