13. Тип 13 № 7840 i Решите уравнение \frac{x-6}{7x+3} = \frac{x-6}{5x-1}. Если уравне- ние имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Ответ: 6

Решим уравнение: \[\frac{x-6}{7x+3} = \frac{x-6}{5x-1}\]

Перенесем все в одну сторону:\[\frac{x-6}{7x+3} - \frac{x-6}{5x-1} = 0\]

Вынесем общий множитель (x-6) за скобки:\[(x-6) \left(\frac{1}{7x+3} - \frac{1}{5x-1}\right) = 0\]

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. Первый случай: \[x-6 = 0\] Отсюда: \[x = 6\]
2. Второй случай: \[\frac{1}{7x+3} - \frac{1}{5x-1} = 0\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{(5x-1) - (7x+3)}{(7x+3)(5x-1)} = 0\] Упростим числитель: \[\frac{5x-1-7x-3}{(7x+3)(5x-1)} = 0\] \[\frac{-2x-4}{(7x+3)(5x-1)} = 0\] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:\[-2x-4 = 0\] \[-2x = 4\] \[x = -2\]

Получили два корня: 6 и -2.

Проверим корни на допустимые значения знаменателя:

• Для корня x = 6:
• 7x + 3 = 7 * 6 + 3 = 45 (не равно 0)
• 5x - 1 = 5 * 6 - 1 = 29 (не равно 0)

Для корня x = -2:

• 7x + 3 = 7 * (-2) + 3 = -11 (не равно 0)
• 5x - 1 = 5 * (-2) - 1 = -11 (не равно 0)

Оба корня допустимы.

Так как уравнение имеет более одного корня, и требуется записать больший из корней, выбираем 6.

Ответ: 6