18. Тип 17 № 9956 Катя загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у по- лученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 235. Какую цифру зачеркнула Катя? Запишите решение и ответ.

Question

Вопрос:

18. Тип 17 № 9956 Катя загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у по- лученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 235. Какую цифру зачеркнула Катя? Запишите решение и ответ.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Пусть abcd – загаданное число, где a, b, c, d – цифры этого числа. Тогда число можно представить в виде:

$$1000a + 100b + 10c + d$$

По условию задачи, Катя вычла из числа сумму его цифр:

$$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c)$$

Полученная разность делится на 9.

Когда Катя зачеркнула одну цифру в разности, получилось число 235. Значит, разность могла быть одним из следующих чисел: x235, 2x35, 23x5, 235x, где x – зачеркнутая цифра.

Так как разность делится на 9, то сумма цифр разности тоже должна делиться на 9.

Если разность x235, то сумма цифр равна x + 2 + 3 + 5 = x + 10. Ближайшее число, делящееся на 9 – это 18. Значит, x + 10 = 18, откуда x = 8. Тогда разность равна 8235.
Если разность 2x35, то сумма цифр равна 2 + x + 3 + 5 = x + 10. x + 10 = 18, откуда x = 8. Тогда разность равна 2835.
Если разность 23x5, то сумма цифр равна 2 + 3 + x + 5 = x + 10. x + 10 = 18, откуда x = 8. Тогда разность равна 2385.
Если разность 235x, то сумма цифр равна 2 + 3 + 5 + x = x + 10. x + 10 = 18, откуда x = 8. Тогда разность равна 2358.

Таким образом, в любом случае, зачеркнутая цифра равна 8.

Проверим полученные числа, разделив их на 9:

8235 ∶ 9 = 915
2835 ∶ 9 = 315
2385 ∶ 9 = 265
2358 ∶ 9 = 262

Число 262 не состоит из цифр 1 и 0, 11 не является суммой цифр, значит, число 2358 не подходит. Подходят числа 8235, 2835 и 2385.

Проверим, можно ли представить числа 915, 315 и 265 в виде 111a + 11b + c, где a, b, c – цифры:

915 = 111 × 8 + 11 × 2 + 3 + 5 = 888 + 22 + 5 – да, подходит, загаданное число 8235 + (8+2+3+5) = 8253
315 = 111 × 2 + 11 × 8 + 3 + 5 = 222 + 88 + 5 – да, подходит, загаданное число 2835 + (2+8+3+5) = 2853
265 = 111 × 2 + 11 × 3 + 8 + 5 = 222 + 33 + 5 – да, подходит, загаданное число 2385 + (2+3+8+5) = 2403

Ответ: зачеркнута цифра 8.