16. Тип 16 № 1769 Найдите все такие простые числа р, что числа р+2, р+6, р+8, р+12 и р +14 также простые.

Решение:

• Простое число – это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя.
• Переберём несколько простых чисел и проверим, удовлетворяют ли они условию задачи:
• Если p = 2, то p + 2 = 4 (не простое).
• Если p = 3, то p + 2 = 5, p + 6 = 9 (не простое).
• Если p = 5, то p + 2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13, p + 12 = 17, p + 14 = 19 (все простые).
• Если p = 7, то p + 6 = 13, p + 8 = 15 (не простое).

Заметим, что если p > 5, то одно из чисел p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12 или p + 14 делится на 5. Это связано с тем, что остатки от деления на 5 этих чисел будут разными и одно из них обязательно даст остаток 0, то есть будет делиться на 5.

Таким образом, единственное простое число, для которого все числа p + 2, p + 6, p + 8, p + 12 и p + 14 также простые, это 5.

Ответ: 5