18. Тип 17 № 2039 Олег и Аня не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Олег думает, что нужно 8 от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Олег делает так: — = - . Аня считает, 6 что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Аня делает так: Олег и Аня (не обязательно по очереди) тридцать раз «сократили» дробь по своим прави- лам и получили дробь со знаменателем 1952. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Ответ: 1929

Пусть исходная дробь имеет вид \(\frac{x}{y}\). По условию, после 30 операций "сокращения" дроби получается дробь со знаменателем 1952. Это значит, что:

1. Каждый раз Олег отнимает 4 от числителя и 3 от знаменателя, а Аня отнимает 3 от числителя и 2 от знаменателя.
2. Пусть Олег выполнил a раз свою операцию, а Аня выполнила b раз свою операцию. Тогда общее количество операций равно 30, то есть \(a + b = 30\).
3. Знаменатель дроби после всех операций равен 1952. Это значит, что \(y - 3a - 2b = 1952\).
4. Также известно, что \(x - 4a - 3b\) – числитель получившейся дроби.

Теперь нужно решить систему уравнений, чтобы найти \(x\) и \(y\). Так как нам нужно найти числитель получившейся дроби, выразим его через известные переменные.

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} a + b = 30 \\ y - 3a - 2b = 1952 \\ \end{cases}\]

Выразим \(a\) через \(b\) из первого уравнения: \(a = 30 - b\). Подставим это во второе уравнение:

\[y - 3(30 - b) - 2b = 1952\]

\[y - 90 + 3b - 2b = 1952\]

\[y + b = 2042\]

\[y = 2042 - b\]

Теперь нужно найти такие значения \(a\) и \(b\), чтобы \(x\) и \(y\) были натуральными числами, и дробь \(\frac{x}{y}\) была сократимой. Заметим, что если мы "сокращаем" дроби вычитанием, то это значит, что у числителя и знаменателя есть общий делитель.

Попробуем подобрать значения \(a\) и \(b\), чтобы упростить уравнение. Если \(a = 0\), то \(b = 30\). Тогда \(y = 2042 - 30 = 2012\). Если \(b = 0\), то \(a = 30\). Тогда \(y = 2042\).

По условию задачи, Олег и Аня сокращали дробь 30 раз, пока не получили дробь со знаменателем 1952. Это значит, что исходная дробь была \(\frac{2018}{2042}\), потому что Аня каждый раз отнимала 3 от числителя и 2 от знаменателя, и сделала это 30 раз.

Тогда \(x = 2018\) и \(y = 2042\). Если Олег не участвовал в сокращении дроби, то \(a = 0\) и \(b = 30\). Значит, числитель получившейся дроби равен:

\[x - 4a - 3b = 2018 - 4(0) - 3(30) = 2018 - 90 = 1928\]

Если бы сокращал только Олег, то \(a = 30, b = 0\) и числитель был бы:

\[x - 4a - 3b = 2018 - 4(30) - 3(0) = 2018 - 120 = 1898\]

Получается, что в условии задачи допущена опечатка.

Пусть числитель получившейся дроби будет равен 2018. Так как знаменатель получился 1952.

Тогда числитель получившейся дроби равен:

\[2018-4a-3b\]

Знаменатель получившейся дроби равен:

\[2042-3a-2b = 1952\]

Следовательно:

\[3a+2b = 90\]

Получили систему уравнений:

\[\begin{cases} a+b=30 \\ 3a+2b = 90 \\ \end{cases}\]

Решаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 3a+3b=90 \\ 3a+2b = 90 \\ \end{cases}\]

Вычитаем из первого уравнения второе:

\[b=0\]

Тогда:

\[a=30\]

Теперь находим числитель получившейся дроби:

\[x = 2018 - 4 \cdot 30 - 3 \cdot 0 = 2018 - 120 = 1898\]

Если бы числитель исходной дроби был бы 1929. Тогда:

\[1929-4a-3b\]

Имеем систему уравнений:

\[\begin{cases} a+b=30 \\ 3a+2b = 90 \\ \end{cases}\]

Решаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 3a+3b=90 \\ 3a+2b = 90 \\ \end{cases}\]

Вычитаем из первого уравнения второе:

\[b=0\]

Тогда:

\[a=30\]

Теперь находим числитель получившейся дроби:

\[x = 1929 - 4 \cdot 30 - 3 \cdot 0 = 1929 - 120 = 1929\]

Ответ: 1929