23 Тип 10 № 7466 Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен \frac{\sqrt{65}}{9}. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой площади трапеции и знанием косинуса угла.

1. Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее основание. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенузой является боковая сторона трапеции, а один из катетов - высота трапеции, второй катет - отрезок нижнего основания.

2. Известно, что \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{65}}{9} \), где \( \alpha \) - угол между боковой стороной и нижним основанием. Пусть \( a = 27 \) - длина боковой стороны трапеции. Тогда, катет, прилежащий к углу \( \alpha \), равен $$ x = a \cdot \cos(\alpha) = 27 \cdot \frac{\sqrt{65}}{9} = 3\sqrt{65} $$.

3. Найдем высоту трапеции \( h \). Так как \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), то $$ \sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{65}}{9}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{65}{81}} = \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9} $$.

Тогда, высота трапеции $$ h = a \cdot \sin(\alpha) = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12 $$.

4. Площадь трапеции находится по формуле $$ S = \frac{a + b}{2} \cdot h $$, где \( a \) и \( b \) - основания трапеции. В данном случае, $$ a = 9, b = 54, h = 12 $$.

Подставим значения: $$ S = \frac{9 + 54}{2} \cdot 12 = \frac{63}{2} \cdot 12 = 63 \cdot 6 = 378 $$.

Ответ: 378