91. Тип 10 № 7436 Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника.

Пусть P - периметр треугольника, a - боковая сторона, b - основание. Тогда: \[P = 2a + b\] Из условия задачи: \[216 = 2 \cdot 78 + b\] \[216 = 156 + b\] \[b = 216 - 156 = 60\] Основание треугольника равно 60. Теперь найдем высоту, опущенную на основание. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. Высота h разделит основание пополам, поэтому получим прямоугольный треугольник со сторонами a, b/2 и h. \[h^2 = a^2 - (b/2)^2\] \[h^2 = 78^2 - (60/2)^2\] \[h^2 = 78^2 - 30^2\] \[h^2 = 6084 - 900\] \[h^2 = 5184\] \[h = \sqrt{5184} = 72\] Высота треугольника равна 72. Теперь можно найти площадь треугольника по формуле: \[S = \frac{1}{2}bh\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 72\] \[S = 30 \cdot 72 = 2160\] Площадь треугольника равна 2160.