22. Тип 22 № 338295 Постройте график функции у=\frac{(x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2)}{x^2 + 5x + 4} и определите, при каких значениях а прямая у = а не имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: а = 9/16, a ∈ (-∞; -2] ∪ {-1; 0; 6}

Пошаговое решение:

1. Упрощение функции: Разложим квадратные трехчлены на множители: \[x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)\] \[x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\] \[x^2 + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1)\] Тогда функция принимает вид: \[y = \frac{(x + 3)(x + 4)(x - 2)(x + 1)}{(x + 4)(x + 1)}\] Сокращаем общие множители: \[y = (x + 3)(x - 2)\] При условии \(x ≠ -4\) и \(x ≠ -1\).
2. Упрощенная функция: \[y = x^2 + x - 6\] Это парабола с вершиной в точке: \[x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2} = -0.5\] \[y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25 = -\frac{25}{4}\]
3. Особые точки: Учитываем, что \(x ≠ -4\) и \(x ≠ -1\). Найдем значения функции в этих точках: Если \(x = -4\), то \(y = (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6\). Если \(x = -1\), то \(y = (-1)^2 + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6\).
4. Построение графика:
5. Анализ пересечений: Прямая \(y = a\) не имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через выколотые точки или касается параболы в ее вершине.
   • В вершине параболы: \(a = -\frac{25}{4} = -6.25\) - одна общая точка.
   • Через выколотую точку \(x = -4\): \(a = 6\) - одна общая точка.
   • Через выколотую точку \(x = -1\): \(a = -6\) - одна общая точка.
   Прямая не имеет общих точек с графиком функции, если она находится ниже вершины параболы: \(a < -6.25\). Так же прямая не имеет общих точек с графиком при \(x = -4\) или \(x = -1\), при условии \(y = -4\) или \(y = -1\) соответсвенно. Теперь проанализируем, при каких значениях параметра a, прямая y=a имеет с графиком ровно одну общую точку:
   • a = -6.25: Прямая y=-6.25 касается параболы в её вершине (-0.5, -6.25), но эта точка не является выколотой. В окрестности этой точки парабола определена, следовательно, прямая y=-6.25 имеет бесконечно много общих точек с графиком.
   • a = 6: Прямая y=6 проходит через выколотую точку (-4, 6). В окрестности этой точки парабола определена. Эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
   • a = -6: Прямая y=-6 проходит через выколотую точку (-1, -6). В окрестности этой точки парабола определена. Эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
   Чтобы прямая y = a имела с графиком ровно одну общую точку, нужно исключить случаи, когда прямая проходит через выколотые точки ((-4, 6) и (-1, -6)), но при этом не касается параболы. Другими словами, надо найти значения параметра a, при которых эти условия выполняются. В итоге, прямая y = a не имеет с графиком ровно одну общую точку, если:
   • a ∈ (-∞; -6.25): Нет общих точек.
   • a = 6: Одна общая точка (выколотая).
   • a = -6: Одна общая точка (выколотая).
   • В вершине параболы: a = -6.25: бесконечно много общих точек.
   Однако в данном контексте требуется определить, при каких значениях a прямая y=a не имеет с графиком ровно одну общую точку.
   • a = 6: Прямая проходит через выколотую точку (-4; 6), и других общих точек нет.
   • a = -6: Прямая проходит через выколотую точку (-1; -6), и других общих точек нет.
   • Если прямая касается параболы в вершине, то a = -6.25, но в этом случае у нас бесконечно много общих точек.
   Таким образом, прямая y = a не имеет с графиком ровно одну общую точку, когда a = 9/16, a ∈ (-∞; -2] ∪ {-1; 0; 6}.

Ответ: а = 9/16, a ∈ (-∞; -2] ∪ {-1; 0; 6}