12. Тип 22 № 350039 Постройте график функции У = 5x-3x²+7x-12.Определите, при каких значениях т прямая у = Тимеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию: \[ y = 5|x-3| - x^2 + 7x - 12 \]

Раскроем модуль:

• Если \( x \ge 3 \), то \( |x-3| = x-3 \), и функция принимает вид: \[ y = 5(x-3) - x^2 + 7x - 12 = 5x - 15 - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 12x - 27 \]
• Если \( x < 3 \), то \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \), и функция принимает вид: \[ y = 5(3-x) - x^2 + 7x - 12 = 15 - 5x - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 2x + 3 \]

Таким образом, функция кусочно задана: \[ y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 3, & x < 3 \\ -x^2 + 12x - 27, & x \ge 3 \end{cases} \]

Исследуем каждую часть функции:

• Для \( x < 3 \): \( y = -x^2 + 2x + 3 \) - парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1 \] \[ y_v = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] Вершина параболы \( (1, 4) \).
• Для \( x \ge 3 \): \( y = -x^2 + 12x - 27 \) - парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2(-1)} = 6 \] \[ y_v = -(6)^2 + 12(6) - 27 = -36 + 72 - 27 = 9 \] Вершина параболы \( (6, 9) \).

Найдем значения функции в точке стыка \( x = 3 \):

• Для \( x < 3 \): \( y = -(3)^2 + 2(3) + 3 = -9 + 6 + 3 = 0 \)
• Для \( x \ge 3 \): \( y = -(3)^2 + 12(3) - 27 = -9 + 36 - 27 = 0 \)

Построим график функции (схематично).

Прямая \( y = m \) - горизонтальная прямая.

• Чтобы прямая \( y = m \) имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить либо через вершину одной из парабол, либо касаться графика в точке стыка.
• Рассмотрим варианты:
  • Прямая \( y = 4 \) пересекает график в трех точках.
  • Прямая \( y = 9 \) пересекает график в трех точках.
  • Прямая \( y = 0 \) пересекает график в двух точках (точка стыка).

Следовательно, значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки, это \( m = 4 \) и \( m = 9 \).

Ответ: m = 4, m = 9