Тип 20 № 338614 Решите неравенство \((x – 8)^2 < \sqrt{3}(x-8).\)

Решаем неравенство:

Пошаговое решение:

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:
\[(x - 8)^2 - \sqrt{3}(x - 8) < 0\]
2. Вынесем общий множитель \((x - 8)\) за скобки:
\[(x - 8)(x - 8 - \sqrt{3}) < 0\]
3. Найдем нули функции:
\[x - 8 = 0 \Rightarrow x_1 = 8\] \[x - 8 - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow x_2 = 8 + \sqrt{3}\]
4. Отметим полученные точки на числовой прямой и определим знаки неравенства на каждом интервале:

Интервалы: \((-\infty; 8)\), \((8; 8 + \sqrt{3})\), \((8 + \sqrt{3}; +\infty)\)

Знаки на интервалах (можно проверить, подставив значения из интервалов в исходное неравенство):

• \((-\infty; 8)\) — (+), так как, например, при \(x=7\) имеем \((7-8)(7-8-\sqrt{3}) = (-1)(-1-\sqrt{3}) > 0\)
• \((8; 8 + \sqrt{3})\) — (-), так как, например, при \(x=8.5\) имеем \((8.5-8)(8.5-8-\sqrt{3}) = (0.5)(0.5-\sqrt{3}) < 0\)
• \((8 + \sqrt{3}; +\infty)\) — (+), так как, например, при \(x=10\) имеем \((10-8)(10-8-\sqrt{3}) = (2)(2-\sqrt{3}) > 0\)
5. Выберем интервал, где неравенство меньше нуля:
\[(8; 8 + \sqrt{3})\]

Ответ: \(x \in (8; 8 + \sqrt{3})\)