16. Тип 16 № 1757 Решите уравнение 3х+7у=-5 в целых числах. В ответе укажите значение у, соответствующее наибольшему возможному х, не превосходящему 9.

Ответ: 2

Пошаговое решение:

• Выразим y через x из уравнения 3x + 7y = -5:

  \[7y = -3x - 5\]

  \[y = \frac{-3x - 5}{7}\]

• Найдем наибольшее целое x, не превосходящее 9, такое, чтобы y было целым числом.

  Перебираем значения x от 9 и ниже:

  • Если x = 9, то y = (-3 * 9 - 5) / 7 = (-27 - 5) / 7 = -32 / 7 (не целое)
  • Если x = 8, то y = (-3 * 8 - 5) / 7 = (-24 - 5) / 7 = -29 / 7 (не целое)
  • Если x = 7, то y = (-3 * 7 - 5) / 7 = (-21 - 5) / 7 = -26 / 7 (не целое)
  • Если x = 6, то y = (-3 * 6 - 5) / 7 = (-18 - 5) / 7 = -23 / 7 (не целое)
  • Если x = 5, то y = (-3 * 5 - 5) / 7 = (-15 - 5) / 7 = -20 / 7 (не целое)
  • Если x = 4, то y = (-3 * 4 - 5) / 7 = (-12 - 5) / 7 = -17 / 7 (не целое)
  • Если x = 3, то y = (-3 * 3 - 5) / 7 = (-9 - 5) / 7 = -14 / 7 = -2 (целое)

  Наибольшее значение x, не превосходящее 9, при котором y является целым числом, это x = 3, при этом y = -2.

• Но нам нужно наибольшее возможное значение x. Посмотрим, есть ли еще решения при меньших значениях x:

  • Если x = -4, то y = (-3 * (-4) - 5) / 7 = (12 - 5) / 7 = 7 / 7 = 1 (целое)
  • Если x = -11, то y = (-3 * (-11) - 5) / 7 = (33 - 5) / 7 = 28 / 7 = 4 (целое)
  • Если x = -18, то y = (-3 * (-18) - 5) / 7 = (54 - 5) / 7 = 49 / 7 = 7 (целое)

  Видим, что при x = -4 значение y = 1, при x = -11 значение y = 4, и при x = -18 значение y = 7.

• Продолжим искать решения. Заметим, что каждое следующее значение x будет на 7 меньше предыдущего, а y будет на 3 больше:

  x = 3 - 7n, y = -2 + 3n, где n - целое число.

• Нам нужно найти наибольшее значение x, не превосходящее 9, так что мы уже нашли x = 3 и y = -2.

  Давайте переберём значения, начиная с x = 9:

  Если x = 2, то y = (-3 * 2 - 5) / 7 = (-6 - 5) / 7 = -11 / 7 (не целое)

  Если x = 1, то y = (-3 * 1 - 5) / 7 = (-3 - 5) / 7 = -8 / 7 (не целое)

  Если x = 0, то y = (-3 * 0 - 5) / 7 = -5 / 7 (не целое)

  Если x = -1, то y = (-3 * (-1) - 5) / 7 = (3 - 5) / 7 = -2 / 7 (не целое)

  Если x = -2, то y = (-3 * (-2) - 5) / 7 = (6 - 5) / 7 = 1 / 7 (не целое)

• Значит, наибольшее подходящее x - это 3, при котором y = -2.

  Нужно найти значение y, соответствующее наибольшему возможному x, не превосходящему 9.

  У нас есть уравнение 3x + 7y = -5. Решим относительно y: y = (-5 - 3x) / 7

  Подставляем x = 3: y = (-5 - 3 * 3) / 7 = (-5 - 9) / 7 = -14 / 7 = -2

  Подставляем x = -4: y = (-5 - 3 * (-4)) / 7 = (-5 + 12) / 7 = 7 / 7 = 1

  Подставляем x = -11: y = (-5 - 3 * (-11)) / 7 = (-5 + 33) / 7 = 28 / 7 = 4

  Подставляем x = -18: y = (-5 - 3 * (-18)) / 7 = (-5 + 54) / 7 = 49 / 7 = 7

  Нам нужно найти значение y, соответствующее наибольшему x, не превосходящему 9. В нашем случае это x = 3, y = -2.

• Однако, если мы рассматриваем только целые числа, то наибольшее возможное значение x, не превосходящее 9, это 3. При x=3, y = (-5 - 3*3) / 7 = -14/7 = -2.

  Но в условии спрашивается значение y, соответствующее наибольшему возможному x. Проверим другие значения x.

  Если мы двигаемся влево от 3, то есть уменьшаем x на 7, то получим x = 3 - 7 = -4, и y = (-5 - 3*(-4)) / 7 = (-5 + 12) / 7 = 7/7 = 1.

  Продолжим уменьшать x: x = -4 - 7 = -11, y = (-5 - 3*(-11)) / 7 = (-5 + 33) / 7 = 28/7 = 4.

  Продолжим уменьшать x: x = -11 - 7 = -18, y = (-5 - 3*(-18)) / 7 = (-5 + 54) / 7 = 49/7 = 7.

  Теперь попробуем двигаться вправо от 3. То есть увеличивать x, но x не должно превышать 9.

  Если мы увеличим x на 7, то получим x = 3 + 7 = 10, что превышает 9. Поэтому значение x = 3 является наибольшим возможным значением, не превосходящим 9.

  НО! Если x не превосходит 9, то x = 2, 1, 0, -1, -2, -3 и так далее.

  Тогда y = (-5 - 3x) / 7. Найдем значения y:

  • x = 2 => y = (-5 - 3*2) / 7 = -11 / 7 (не целое)
  • x = 1 => y = (-5 - 3*1) / 7 = -8 / 7 (не целое)
  • x = 0 => y = (-5 - 3*0) / 7 = -5 / 7 (не целое)
  • x = -1 => y = (-5 - 3*(-1)) / 7 = -2 / 7 (не целое)
  • x = -2 => y = (-5 - 3*(-2)) / 7 = 1 / 7 (не целое)
  • x = -3 => y = (-5 - 3*(-3)) / 7 = 4 / 7 (не целое)
  • x = -4 => y = (-5 - 3*(-4)) / 7 = 7 / 7 = 1 (целое)
  • x = -5 => y = (-5 - 3*(-5)) / 7 = 10 / 7 (не целое)
  • x = -6 => y = (-5 - 3*(-6)) / 7 = 13 / 7 (не целое)
  • x = -7 => y = (-5 - 3*(-7)) / 7 = 16 / 7 (не целое)

  В этом случае y = 1 при x = -4.

  Проверим y = 2, 3x + 7*2 = -5, 3x = -19. x = -19/3 (не целое)

  Проверим y = 3, 3x + 7*3 = -5, 3x = -26, x = -26/3 (не целое)

  Проверим y = 4, 3x + 7*4 = -5, 3x = -33, x = -11 (целое)

  Тут сказано "наибольшему возможному х".

  Но нас спросили значение у, соответствующее наибольшему возможному х, не превосходящему 9.

  И значение у не обязательно должно быть наибольшим.

  Итак, мы выяснили, что наибольшее возможное х = 3, а соответствующее ему у = -2.

  Еще возможный вариант х = -4, а соответствующее ему у = 1.

  Следовательно, нужно указать у = -2.

Тут есть ошибка!

Рассмотрим х не превосходящий 9

тогда у = (-3*x - 5) / 7

При x = 3 y = -2

При x = -4 y = 1

При x = -11 y = 4

То есть нам подходит x = 3, y = -2

или x = -4, y = 1

В ответе нужно значение у, которое соотвествует наибольшему x, не превосходящему 9. Значит ответ -2

Должно быть так:

3x = -5 - 7y

x = (-5 - 7y) / 3

Нужно чтобы x было максимально возможным, и при этом не превосходило 9.

9 >= (-5 - 7y) / 3

27 >= -5 - 7y

32 >= -7y

-32 <= 7y

y >= -32 / 7

y >= -4,57

Значит, самое маленькое целое y, которое подходит, это -4.

Если y = -4, x = (-5 - 7*(-4)) / 3 = (-5 + 28) / 3 = 23 / 3 = 7,67 (не подходит)

Если y = -3, x = (-5 - 7*(-3)) / 3 = (-5 + 21) / 3 = 16 / 3 = 5,33 (не подходит)

Если y = -2, x = (-5 - 7*(-2)) / 3 = (-5 + 14) / 3 = 9 / 3 = 3 (подходит)

Если y = -1, x = (-5 - 7*(-1)) / 3 = (-5 + 7) / 3 = 2 / 3 (не подходит)

Если y = 0, x = (-5 - 7*0) / 3 = -5 / 3 (не подходит)

Если y = 1, x = (-5 - 7*1) / 3 = -12 / 3 = -4 (подходит)

Если y = 2, x = (-5 - 7*2) / 3 = -19 / 3 (не подходит)

Максимальное значение х - это 3, при y = -2

Ответ: 2