10. Тип 10 № 943 Школьника попросили определить массу одной монетки и выдали для этого 25 одинаковых монет, рычажные весы и набор гирек. Проблема оказалась в том, что самая лёгкая гирька в набо- ре имела массу 10 г, а монеты были достаточно лёгкими. Школьник провёл несколько опытов и выяснил, что если на одну чашу весов положить 3 монеты, то они перевешивают гирю массой 10 г, но легче, чем гиря массой 20 г. Если положить на чашу весов 15 монет, то они легче, чем гири массой 70 г, но тяжелее, чем гири массой 60 г. А если положить 25 монет, то они тяжелее 110 г, но легче 120 г. 1). По результатам каждого измерения определите массу монетки и оцените погрешность определения массы монетки. 2) В каком из трёх экспериментов точность определения массы монеты будет наибольшей? 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить массу мо- нетки с наибольшей точностью, найдите объём одной монетки и оцените его погрешность. Счи- тайте, что плотность монетки равна 7,2 г/см³ точно. Напишите полное решение этой задачи.

Решение:

Разбираемся с задачей про монетки! Логика такая: у нас есть три эксперимента с монетками на весах, и нужно понять, в каком из них мы можем точнее всего определить массу одной монетки, а потом еще и объем.

1) Определение массы монетки и оценка погрешности для каждого измерения:

• Эксперимент 1: 3 монеты перевешивают 10 г, но легче 20 г.

Это значит, что масса 3 монет находится в диапазоне от 10 г до 20 г. Чтобы найти массу одной монетки, делим границы диапазона на 3:

\[ \frac{10}{3} \approx 3.33 \] г

\[ \frac{20}{3} \approx 6.67 \] г

Масса одной монетки находится в диапазоне от 3.33 г до 6.67 г. Оценим погрешность. Возьмем среднее значение:

\[ \frac{3.33 + 6.67}{2} = 5 \] г

Погрешность:

\[ \frac{6.67 - 3.33}{2} = 1.67 \] г

• Эксперимент 2: 15 монет легче 70 г, но тяжелее 60 г.

Масса 15 монет находится в диапазоне от 60 г до 70 г. Чтобы найти массу одной монетки, делим границы диапазона на 15:

\[ \frac{60}{15} = 4 \] г

\[ \frac{70}{15} \approx 4.67 \] г

Масса одной монетки находится в диапазоне от 4 г до 4.67 г. Оценим погрешность. Возьмем среднее значение:

\[ \frac{4 + 4.67}{2} \approx 4.33 \] г

Погрешность:

\[ \frac{4.67 - 4}{2} \approx 0.335 \] г

• Эксперимент 3: 25 монет тяжелее 110 г, но легче 120 г.

Масса 25 монет находится в диапазоне от 110 г до 120 г. Чтобы найти массу одной монетки, делим границы диапазона на 25:

\[ \frac{110}{25} = 4.4 \] г

\[ \frac{120}{25} = 4.8 \] г

Масса одной монетки находится в диапазоне от 4.4 г до 4.8 г. Оценим погрешность. Возьмем среднее значение:

\[ \frac{4.4 + 4.8}{2} = 4.6 \] г

Погрешность:

\[ \frac{4.8 - 4.4}{2} = 0.2 \] г

2) В каком из трёх экспериментов точность определения массы монеты будет наибольшей?

Точность определения массы монеты будет наибольшей в том эксперименте, где погрешность наименьшая. Сравниваем погрешности:

• Эксперимент 1: 1.67 г
• Эксперимент 2: 0.335 г
• Эксперимент 3: 0.2 г

Наименьшая погрешность в эксперименте 3 (0.2 г), значит, в этом эксперименте точность определения массы монеты будет наибольшей.

3) Найдём объём одной монетки и оценим его погрешность, используя результаты эксперимента с наибольшей точностью.

В эксперименте 3 масса монетки находится в диапазоне от 4.4 г до 4.8 г. Чтобы найти объём, воспользуемся формулой:

\[ V = \frac{m}{\rho} \]

где m — масса, \(\rho\) — плотность. Плотность монетки равна 7.2 г/см³.

Для минимальной массы (4.4 г):

\[ V_{min} = \frac{4.4}{7.2} \approx 0.611 \] см³

Для максимальной массы (4.8 г):

\[ V_{max} = \frac{4.8}{7.2} \approx 0.667 \] см³

Объём одной монетки находится в диапазоне от 0.611 см³ до 0.667 см³. Оценим погрешность. Возьмем среднее значение:

\[ \frac{0.611 + 0.667}{2} \approx 0.639 \] см³

Погрешность:

\[ \frac{0.667 - 0.611}{2} \approx 0.028 \] см³

Ответ: Масса монетки в эксперименте 3: 4.6 г, погрешность 0.2 г. Объем монетки: 0.639 см³, погрешность 0.028 см³.