19. Тип 17 № 11040 Трехзначное число, сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите сумму цифр исходного числа.

Решение: Пусть трехзначное число имеет вид \(\overline{abc}\), где a, b, c - цифры. Тогда само число равно \(100a + 10b + c\). Число, записанное в обратном порядке, имеет вид \(\overline{cba}\), и равно \(100c + 10b + a\). Сумма этих чисел равна: $$(100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 101a + 20b + 101c = 101(a+c) + 20b = 685$$ Предположим, что \(a+c = 6\), тогда $$101(6) + 20b = 606 + 20b = 685$$ $$20b = 685 - 606 = 79$$ В этом случае b не является целым числом (79 не делится на 20), так что предположение неверно. Предположим, что \(a+c = 5\), тогда $$101(5) + 20b = 505 + 20b = 685$$ $$20b = 685 - 505 = 180$$ $$b = \frac{180}{20} = 9$$ Значит, \(a+c = 5\) и \(b = 9\). Сумма цифр исходного числа равна \(a + b + c = (a+c) + b = 5 + 9 = 14\). **Ответ: 14**