14. Тип 11 № 3643 Учитель предложил четырём ученикам несколько задач. Каждую задачу решили только трое. Известно, что Вика решила больше всех — восемь задач, а Гриша решил меньше всех — четыре задачи. Сколько всего задач предложил учитель?

Для решения этой задачи нам необходимо найти, сколько задач решили все четыре ученика, а затем сложить эти значения. Мы знаем, что: 1. Вика решила больше всех - 8 задач. 2. Гриша решил меньше всех - 4 задачи. 3. Каждую задачу решили только трое. Это значит, что общее количество решенных задач равно сумме количества задач, решенных каждым учеником. Так как каждую задачу решили только трое, то общее количество решенных задач можно выразить так: $$3 \cdot N$$, где $$N$$ - количество задач, предложенных учителем. Пусть количество задач, решенных остальными двумя учениками, равно $$x$$ и $$y$$. Тогда: $$4 + 8 + x + y = 3 \cdot N$$ $$12 + x + y = 3 \cdot N$$ Так как Вика решила больше всех (8 задач), а Гриша меньше всех (4 задачи), то остальные два ученика решили от 4 до 8 задач. Поскольку каждую задачу решили только трое, значит, общее количество решенных задач должно делиться на 3. Подберем значения $$x$$ и $$y$$ в пределах от 4 до 8, чтобы сумма $$12 + x + y$$ делилась на 3. Возможные значения $$x$$ и $$y$$: * $$x = 4, y = 4$$: $$12 + 4 + 4 = 20$$ (не делится на 3) * $$x = 4, y = 5$$: $$12 + 4 + 5 = 21$$ (делится на 3, $$N=7$$) * $$x = 4, y = 6$$: $$12 + 4 + 6 = 22$$ (не делится на 3) * $$x = 4, y = 7$$: $$12 + 4 + 7 = 23$$ (не делится на 3) * $$x = 4, y = 8$$: $$12 + 4 + 8 = 24$$ (делится на 3, $$N = 8$$) * $$x = 5, y = 5$$: $$12 + 5 + 5 = 22$$ (не делится на 3) * $$x = 5, y = 6$$: $$12 + 5 + 6 = 23$$ (не делится на 3) * $$x = 5, y = 7$$: $$12 + 5 + 7 = 24$$ (делится на 3, $$N=8$$) * $$x = 5, y = 8$$: $$12 + 5 + 8 = 25$$ (не делится на 3) * $$x = 6, y = 6$$: $$12 + 6 + 6 = 24$$ (делится на 3, $$N=8$$) * $$x = 6, y = 7$$: $$12 + 6 + 7 = 25$$ (не делится на 3) * $$x = 6, y = 8$$: $$12 + 6 + 8 = 26$$ (не делится на 3) * $$x = 7, y = 7$$: $$12 + 7 + 7 = 26$$ (не делится на 3) * $$x = 7, y = 8$$: $$12 + 7 + 8 = 27$$ (делится на 3, $$N = 9$$) * $$x = 8, y = 8$$: $$12 + 8 + 8 = 28$$ (не делится на 3) Подходят следующие варианты: 1. $$x=4, y=5$$, тогда $$N = (12+4+5)/3 = 7$$ 2. $$x=4, y=8$$, тогда $$N = (12+4+8)/3 = 8$$ 3. $$x=5, y=7$$, тогда $$N = (12+5+7)/3 = 8$$ 4. $$x=6, y=6$$, тогда $$N = (12+6+6)/3 = 8$$ 5. $$x=7, y=8$$, тогда $$N = (12+7+8)/3 = 9$$ Поскольку каждую задачу решили трое, и только трое, можно сказать, что каждый ученик не мог решить все задачи. Это значит, что Вика (которая решила 8 задач) не могла решить все задачи. Тогда подходит только первый вариант. $$N=7$$. Ответ: Всего учитель предложил 7 задач.