8 Тип 8 № 2591 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота (О. Най- дите величину угла А, если DB = 3, а BC = 6.

В прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника: ACD и CBD.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме Пифагора:

$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

$$AC^2 + 6^2 = (3+AD)^2$$

Рассмотрим треугольник CBD.

$$CD^2 + BD^2 = BC^2$$

$$CD^2 + 3^2 = 6^2$$

$$CD^2 = 36 - 9 = 27$$

$$CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

Рассмотрим треугольник ACD.

$$CD^2 + AD^2 = AC^2$$

$$27 + AD^2 = AC^2$$

Так как треугольники подобны, то $$BC/CD = AB/AC$$

$$6/(3\sqrt{3}) = (3+AD)/AC$$

$$2/\sqrt{3}=(3+AD)/AC$$

$$AC= (3+AD) \sqrt{3} /2$$

Подставим в уравнение

$$27+AD^2 = ((3+AD) \sqrt{3} /2)^2$$

$$27+AD^2 = (3+AD)^2 *3 /4$$

$$27+AD^2 = (9+6AD+AD^2) *3 /4$$

$$108+4AD^2 = 27 + 18AD + 3AD^2$$

$$AD^2 - 18AD + 81 = 0$$

$$D = 18^2 - 4 * 81 = 324 - 324 = 0$$

$$AD = 18/2 = 9$$

$$AB = 3 + 9 = 12$$

$$AC = \frac{(3+9)\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$

$$sin A = BC/AB = 6/12 = 1/2$$

Угол А = 30°.

Ответ: 30°