3. Тип 17 № 323356 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то и второй острый угол равен 45°, следовательно, этот треугольник равнобедренный, то есть катеты равны.

Пусть a и b - катеты, с = 70 - гипотенуза.

По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$. Так как a = b: $$2a^2 = c^2$$, выразим a: $$a = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}}$$.

• $$a = \frac{70}{\sqrt{2}} = \frac{70 \cdot \sqrt{2}}{2} = 35\sqrt{2}$$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a^2$$.

• $$S = \frac{1}{2} \cdot (35\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 35^2 \cdot 2 = 35^2 = 1225$$.

Ответ: 1225