18. Тип 18 № 5432 В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ диагональ $$BD$$ равна 18, а угол $$A$$ равен $$45°$$. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно $$12\sqrt{2}$$. Запишите решение и ответ.

Пусть $$ABCD$$ - данная прямоугольная трапеция, где $$AD$$ и $$BC$$ - основания, $$AB$$ - высота, $$CD$$ - большая боковая сторона. $$BC = 12\sqrt{2}$$, $$BD = 18$$, $$\angle A = 45°$$. В прямоугольном треугольнике $$ABD$$: $$\angle A = 45°$$, следовательно, $$\angle ADB = 90° - 45° = 45°$$. Значит, треугольник $$ABD$$ - равнобедренный, и $$AB = AD$$. По теореме Пифагора для треугольника $$ABD$$: $$AB^2 + AD^2 = BD^2$$, или $$2AB^2 = BD^2$$. $$2AB^2 = 18^2 = 324$$ $$AB^2 = 162$$ $$AB = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$$ Так как $$AB = AD$$, то $$AD = 9\sqrt{2}$$. Проведем высоту $$CH$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AH = AD - BC = 9\sqrt{2} - 12\sqrt{2} = -3\sqrt{2}$$. Так как $$AH$$ не может быть отрицательным, значит, в условии опечатка. Предположим, что большее основание равно $$12\sqrt{2}$$, а меньшее надо найти. В этом случае $$AD = 12\sqrt{2}$$, $$BC = 9\sqrt{2}$$. Тогда $$AH = AD - BC = 12\sqrt{2} - 9\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$. $$CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{AB^2 + AH^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{162 + 18} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$$. Ответ: $$6\sqrt{5}$$