Тип 13 № 13 В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АН = 54, ВС = ВМ. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 108

Решение:

1. Так как в треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH, и известно, что BC = BM, то можно сделать вывод о свойствах треугольника.

2. Поскольку высота BH является также медианой (так как AH = HC, поскольку BH высота), то треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Следовательно, AB = BC.

3. Также дано, что BC = BM. Таким образом, AB = BC = BM.

4. Поскольку треугольник ABM равнобедренный (AB = BM), то углы при основании AM равны. Обозначим угол BAM как α. Тогда угол BMA также равен α.

5. В треугольнике ABH угол BAH равен α, а угол AHB равен 90°. Следовательно, угол ABH равен 90° - α.

6. Так как BM - медиана, то AM = MC, и AC = 2AM. Поскольку AH = 54, а H - основание высоты, то в равнобедренном треугольнике ABC высота BH также является медианой, следовательно, AH = HC = 54.

7. Тогда AC = AH + HC = 54 + 54 = 108.

Ответ: 108