19. Тип 16 № 11036 В треугольнике АВС серединный перпендикуляр стороны АС пересекает сторону ВС в точке L. Найти длину стороны АС, если CL = 6, ∠BCK = 30°.

Решение: Пусть \(K\) - середина стороны \(AC\). Так как \(LK\) - серединный перпендикуляр к \(AC\), то \(AL = CL = 6\). Значит, треугольник \(ALC\) - равнобедренный, и \(\angle LAC = \angle LCA\). Так как \(LK\) - серединный перпендикуляр, то \(\angle AKL = 90^\circ\). Также, \(AC = 2 cdot CK\). В треугольнике \(LCK\) известен угол \(\angle BCK = 30^\circ\) и сторона \(CL = 6\). Так как \(LK\) перпендикулярна \(AC\), \(\angle CKL = 90^\circ\). Следовательно, в треугольнике \(LCK\): \(CK = CL \cdot \cos(\angle BCK) = 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\). Тогда \(AC = 2 \cdot CK = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\). Ответ: 6\(\sqrt{3}\)