3. Тип 9 № 8255 В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 4, sinA = 3√34 34 . Найдите BC.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, AC = 4, и sinA =$$\frac{3\sqrt{34}}{34}$$, нужно найти длину стороны BC.

1) Вспомним определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$$sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$$

2) Выразим сторону BC через синус угла A и гипотенузу AB:

$$BC = AB \cdot sin A$$

3) Так как нам известен катет AC и синус угла A, можем воспользоваться другим соотношением:

$$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{BC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}}$$, отсюда $$\frac{3\sqrt{34}}{34} = \frac{BC}{\sqrt{16 + BC^2}}$$.

Возведем обе части в квадрат, получим:

$$\frac{9 \cdot 34}{34^2} = \frac{BC^2}{16+BC^2}$$

$$ \frac{9}{34} = \frac{BC^2}{16+BC^2}$$

$$9(16+BC^2) = 34BC^2$$

$$144 + 9BC^2 = 34BC^2$$

$$25BC^2 = 144$$

$$BC^2 = \frac{144}{25}$$

$$BC = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}=2,4$$

Ответ: 2,4