9. Тип 8 № 12329 В треугольнике АВС угол C равен 90°, стороны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 18°. Найди- те градусную меру угла АРС.

Ответ: ∠APC = 63°

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен 90°, и стороны \(AC\) и \(BC\) равны, следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45°, то есть \(\angle BAC = \angle ABC = 45^\circ\).

Угол \(ACP\) равен 18° (дано). Чтобы найти угол \(CAP\), вычтем угол \(ACP\) из угла \(BAC\):\[\angle CAP = \angle BAC - \angle PAC = 45^\circ - 18^\circ = 27^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник \(APC\). В этом треугольнике известны два угла: \(\angle ACP = 18^\circ\) и \(\angle CAP = 27^\circ\). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому можно найти угол \(APC\):\[\angle APC = 180^\circ - (\angle ACP + \angle CAP) = 180^\circ - (18^\circ + 27^\circ) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\]

Угол \(APC\) является внешним углом для угла \(BPC\), и сумма смежных углов равна 180°. Чтобы найти угол \(APC\), вычтем угол \(ACB\) из 180°:\[\angle APC = 180^\circ - \angle BPC\]

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен 90°, а углы \(A\) и \(B\) равны 45°. Угол \(ACP\) равен 18°. Следовательно, угол \(PCB\) равен:\[\angle PCB = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ\]

В треугольнике \(PBC\) угол \(PBC\) равен 45°, а угол \(PCB\) равен 72°. Следовательно, угол \(BPC\) равен:\[\angle BPC = 180^\circ - (45^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ\]

Угол \(APC\) является смежным с углом \(BPC\), поэтому:\[\angle APC = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ\]

Таким образом, градусная мера угла \(APC\) равна 63°.

Ответ: ∠APC = 63°