18. Тип 17 № 2011 Вася и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вася думает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Вася делает так: Маша считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Маша делает так: Вася и Маша (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1995. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Привет, ребята! Давайте решим эту интересную задачу вместе. Понимание задачи: Вася и Маша упрощают дроби по-своему, вычитая числа из числителя и знаменателя. Наша задача - найти числитель дроби, если известно, что после 20 таких «сокращений» знаменатель стал равен 1995. Решение: Пусть у нас есть дробь $$\frac{a}{b}$$. Вася и Маша применяют свои методы «сокращения» по очереди. Вася отнимает 3 от числителя и 2 от знаменателя, а Маша отнимает 2 от числителя и 1 от знаменателя. Заметим, что за два хода (один ход Васи и один ход Маши) от числителя отнимается 3 + 2 = 5, а от знаменателя отнимается 2 + 1 = 3. Они делают это 20 раз, значит, таких пар ходов будет 10. Тогда, если изначальная дробь была $$\frac{a}{b}$$, то после 20 «сокращений» мы получим дробь: $$\frac{a - 10 \cdot 5}{b - 10 \cdot 3} = \frac{a - 50}{b - 30}$$ Нам известно, что знаменатель получившейся дроби равен 1995, то есть: $$b - 30 = 1995$$ Отсюда находим изначальный знаменатель: $$b = 1995 + 30 = 2025$$ Теперь нам нужно узнать, сколько раз каждый из ребят применял свой метод. Так как всего было 20 ходов и каждый делал по 10 ходов, получается: Вася сделал 10 ходов: $$a - 10 \cdot 3$$ (от числителя отнимается 3) Маша сделала 10 ходов: $$a - 10 \cdot 2$$ (от числителя отнимается 2) Получается, что от числителя всего отняли: $$10 \cdot 3 + 10 \cdot 2 = 30 + 20 = 50$$ Значит, новая дробь имеет вид: $$\frac{a - 50}{1995}$$ Теперь мы знаем, что изначальная дробь была $$\frac{a}{2025}$$, и после 20 ходов получилась дробь $$\frac{a - 50}{1995}$$. Чтобы найти числитель получившейся дроби, нам нужно узнать изначальный числитель *a*. Но у нас недостаточно данных, чтобы его найти. Заметим, что действия Васи и Маши не меняют разность между числителем и знаменателем. То есть, если изначально разность была $$a - b$$, то после 20 шагов она останется такой же. $$a - b = (a - 50) - (b - 30) = a - b - 20$$ Однако, мы не можем найти конкретное значение числителя, так как не знаем исходную дробь. Но, мы можем выразить числитель новой дроби через числитель старой дроби: Числитель новой дроби = a - 50. Ответ: Числитель получившейся дроби равен a - 50, где a - числитель исходной дроби. Мы не можем найти конкретное число, так как не знаем исходный числитель.