28. Тип 17 № 602 Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Пусть задуманное число равно $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры задуманного числа. По условию, при умножении этого числа на произведение его цифр получается 255, то есть

$$ (10a + b) \cdot a \cdot b = 255 $$

Разложим число 255 на простые множители: $$255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$$. Так как задуманное число двузначное, то оно больше 9 и меньше 100. Тогда можно рассмотреть возможные варианты:

1. Если предположить, что $$a = 3$$, то $$ (30 + b) \cdot 3 \cdot b = 255 $$, следовательно, $$ (30 + b) \cdot b = 85 $$. Если $$b = 1$$, то $$31 \cdot 1 = 31$$, не подходит. Если $$b = 2$$, то $$32 \cdot 2 = 64$$, не подходит. Если $$b = 3$$, то $$33 \cdot 3 = 99$$, не подходит. Если $$b = 4$$, то $$34 \cdot 4 = 136$$, не подходит. Если $$b = 5$$, то $$35 \cdot 5 = 175$$, не подходит.
2. Если предположить, что $$a = 5$$, то $$ (50 + b) \cdot 5 \cdot b = 255 $$, следовательно, $$ (50 + b) \cdot b = 51 $$. Если $$b = 1$$, то $$51 \cdot 1 = 51$$, подходит.
3. Если предположить, что $$b = 3$$, то $$ (10a + 3) \cdot a \cdot 3 = 255 $$, следовательно, $$ (10a + 3) \cdot a = 85 $$. Если $$a = 1$$, то $$13 \cdot 1 = 13$$, не подходит. Если $$a = 2$$, то $$23 \cdot 2 = 46$$, не подходит. Если $$a = 3$$, то $$33 \cdot 3 = 99$$, не подходит. Если $$a = 4$$, то $$43 \cdot 4 = 172$$, не подходит. Если $$a = 5$$, то $$53 \cdot 5 = 265$$, не подходит.
4. Если предположить, что $$b = 5$$, то $$ (10a + 5) \cdot a \cdot 5 = 255 $$, следовательно, $$ (10a + 5) \cdot a = 51 $$. Если $$a = 1$$, то $$15 \cdot 1 = 15$$, не подходит. Если $$a = 2$$, то $$25 \cdot 2 = 50$$, не подходит. Если $$a = 3$$, то $$35 \cdot 3 = 105$$, не подходит. Если $$a = 4$$, то $$45 \cdot 4 = 180$$, не подходит. Если $$a = 5$$, то $$55 \cdot 5 = 275$$, не подходит.

Получается, что если $$a=5$$ и $$b=1$$, то $$ (50 + 1) \cdot 5 \cdot 1 = 255$$, это неверно.

Рассмотрим число 17. Пусть $$a=1$$ и $$b=7$$, тогда $$ (10 \cdot 1 + 7) \cdot 1 \cdot 7 = 17 \cdot 7 = 119 $$, не подходит.

Рассмотрим число 15. Пусть $$a=1$$ и $$b=5$$, тогда $$ (10 \cdot 1 + 5) \cdot 1 \cdot 5 = 15 \cdot 5 = 75 $$, не подходит.

Если предположить, что задуманное число 17, то $$17 \cdot 1 \cdot 7 = 119$$, что не равно 255.

Если $$10a+b = 17$$, то $$17 \cdot a \cdot b = 255 $$, значит $$a \cdot b = 15 $$. Возможные варианты: $$a=3, b=5$$. Тогда число 35. Проверим: $$35 \cdot 3 \cdot 5 = 35 \cdot 15 = 525 $$, не подходит.

Если $$10a+b = 15$$, то $$15 \cdot a \cdot b = 255 $$, значит $$a \cdot b = 17 $$. Это невозможно, т.к. 17 - простое число.

Рассмотрим вариант $$17 \cdot 5 \cdot 3 = 255 $$. Пусть $$a=17$$, тогда $$ (10+7) \cdot 1 \cdot 7 = 17 \cdot 7 = 119$$, а должно получиться 255.

Число 175. $$ 1 \cdot 7 \cdot 5 = 35$$. $$175 \cdot 35 = 6125 $$, не подходит.

Но если рассмотреть число 17, то $$ 17 \cdot 1 \cdot 7 = 17 \cdot 7 = 119$$.

Рассмотрим число 51. $$51 \cdot 5 \cdot 1 = 255$$. Значит, число 51 задумали.

Ответ: 51