18. Тип 17 № 12765 Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четырехзначное число делится на 11. Какое число задумали? Запишите решение и ответ.

**Решение:** 1. **Представление числа:** Пусть задумано двузначное число $$ab$$, где $$a$$ – десяток, $$b$$ – единица. Так как число делится на 5, то $$b$$ может быть либо 0, либо 5. После приписывания получается четырехзначное число $$abab$$. 2. **Разложение четырехзначного числа:** Число $$abab$$ можно представить как $$1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b = 101(10a + b)$$. 3. **Условие делимости на 11:** Так как $$abab$$ делится на 11, то $$101(10a + b)$$ делится на 11. Поскольку 101 не делится на 11, то $$10a + b$$ (т.е. исходное число $$ab$$) должно делиться на 11. 4. **Возможные варианты:** * Если $$b = 0$$, то число $$10a$$ должно делиться на 11. Единственный возможный вариант – $$a = 0$$, но тогда число не двузначное. * Если $$b = 5$$, то число $$10a + 5$$ должно делиться на 11. Перебираем варианты для $$a$$ от 1 до 9. * $$a = 1$$: $$10(1) + 5 = 15$$ – не делится на 11. * $$a = 2$$: $$10(2) + 5 = 25$$ – не делится на 11. * $$a = 3$$: $$10(3) + 5 = 35$$ – не делится на 11. * $$a = 4$$: $$10(4) + 5 = 45$$ – не делится на 11. * $$a = 5$$: $$10(5) + 5 = 55$$ – делится на 11. 5. **Найдено число:** Итак, $$a = 5$$, $$b = 5$$. Значит, задуманное число – 55. **Ответ:** Задумано число 55.