В первом случае, когда замёрзшие руки согревают, потерев их друг о друга, энергия передаётся посредством совершения работы, то есть происходит механическая передача энергии. При трении рук друг о друга кинетическая энергия движения преобразуется во внутреннюю энергию рук, повышая их температуру.
Во втором случае, когда руки подставляют под струю тёплой воды, энергия передаётся посредством теплопередачи, в частности, теплопроводности. Тёплая вода имеет более высокую температуру, и тепло передаётся от воды к рукам, увеличивая их внутреннюю энергию и повышая температуру.
Ответ: В первом случае энергия передаётся за счёт совершения работы (трения), во втором случае - за счёт теплопередачи (теплопроводности).