Тип 13 і а) Решите уравнение 2 sin²x - √3sin 2x = 0. б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [3π/2;3π].

Ответ: а) \( x = \pi n, x = \frac{\pi}{3} + \pi n \), где n ∈ Z; б) \( \frac{7\pi}{3}, 2\pi, \frac{10\pi}{3}, 3\pi \)

Решение:

а) Решим уравнение \( 2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin 2x = 0 \).

• Преобразуем \( \sin 2x \) в \( 2\sin x \cos x \):
  \[ 2\sin^2 x - \sqrt{3} \cdot 2\sin x \cos x = 0 \]
• Вынесем общий множитель \( 2\sin x \) за скобки:
  \[ 2\sin x(\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0 \]
• Получаем два случая:
  • \( 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
  • \( \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 \Rightarrow \sin x = \sqrt{3} \cos x \). Разделим обе части на \( \cos x \) (если \( \cos x
    eq 0 \)): \[ \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \Rightarrow tg \, x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку \( \left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right] \).

• Для \( x = \pi n \):
  \[ \frac{3\pi}{2} \le \pi n \le 3\pi \Rightarrow \frac{3}{2} \le n \le 3 \Rightarrow n = 2, n = 3 \]
  \[ x = 2\pi, x = 3\pi \]
• Для \( x = \frac{\pi}{3} + \pi n \):
  \[ \frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + \pi n \le 3\pi \Rightarrow \frac{3}{2} \le \frac{1}{3} + n \le 3 \Rightarrow \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \le n \le 3 - \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{7}{6} \le n \le \frac{8}{3} \Rightarrow n = 2 \]
  \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \] Если \( n = 3 \):
  \[ x = \frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3} \]

Корни, принадлежащие отрезку \( \left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right] \): \( \frac{7\pi}{3}, 2\pi, \frac{10\pi}{3}, 3\pi \).

Ответ: а) \( x = \pi n, x = \frac{\pi}{3} + \pi n \), где n ∈ Z; б) \( \frac{7\pi}{3}, 2\pi, \frac{10\pi}{3}, 3\pi \)