18 Тип 18 і Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ДАОВ = 120° и МО = 22.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: 11\(\sqrt{3}\)

Краткое пояснение: Используем свойства касательных к окружности и теорему косинусов.

Так как MA и MB - касательные к окружности, то углы MAO и MBO прямые (равны 90°).
Рассмотрим четырехугольник MAOB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
По условию ∠AOB = 120°, тогда ∠AMB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.
Рассмотрим треугольники MAO и MBO. Они равны, так как AO = BO (радиусы), MO - общая сторона, ∠MAO = ∠MBO = 90°.
Тогда ∠AMO = ∠BMO = 60° / 2 = 30°.
В прямоугольном треугольнике MAO:

\[\sin{∠AMO} = \frac{AO}{MO}\]

\[\sin{30°} = \frac{AO}{22}\]

\[\frac{1}{2} = \frac{AO}{22}\]

\[AO = 11\]

Теперь найдем расстояние AB, используя теорему косинусов в треугольнике AOB:

\[AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos{∠AOB}\]

\[AB^2 = 11^2 + 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot 11 \cdot \cos{120°}\]

\[AB^2 = 121 + 121 - 2 \cdot 121 \cdot (-\frac{1}{2})\]

\[AB^2 = 242 + 121\]

\[AB^2 = 363\]

\[AB = \sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = 11\sqrt{3}\]

Ответ: 11\(\sqrt{3}\)