7 Тип 7 і На клетчатой бу- маге с размером клет- ки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите длину бис- сектрисы треугольни- ка, выходящей из вер- шины А. Ответ:

Для решения задачи необходимо построить биссектрису угла A и найти длину отрезка до пересечения со стороной BC.

По клеточкам определяем координаты точек: A(1;3), B(5;6), C(6;1).

1. Найдем уравнение прямой BC. Используем уравнение прямой, проходящей через две точки: $$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $$.

Подставляем координаты B(5;6) и C(6;1):

$$ \frac{x - 5}{6 - 5} = \frac{y - 6}{1 - 6} $$ $$ \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 6}{-5} $$ $$ -5(x - 5) = y - 6 $$ $$ -5x + 25 = y - 6 $$ $$ y = -5x + 31 $$

2. Биссектриса угла A делит угол пополам. Найдем точку D, в которой биссектриса пересекает сторону BC. Сначала найдем длины сторон AB и AC.

$$ AB = \sqrt{(5-1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ AC = \sqrt{(6-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} $$

3. По свойству биссектрисы, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно, $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{\sqrt{29}} $$.

4. Пусть D(x;y). Тогда, используя формулу деления отрезка в данном отношении, находим координаты точки D:

$$ x = \frac{x_1 + kx_2}{1 + k} $$ $$ y = \frac{y_1 + ky_2}{1 + k} $$, где k = $$ \frac{BD}{DC} = \frac{5}{\sqrt{29}} $$ $$ x = \frac{5 + \frac{5}{\sqrt{29}} очка 6}{1 + \frac{5}{\sqrt{29}}} = \frac{5\sqrt{29} + 30}{\sqrt{29} + 5} $$ $$ y = \frac{6 + \frac{5}{\sqrt{29}} очка 1}{1 + \frac{5}{\sqrt{29}}} = \frac{6\sqrt{29} + 5}{\sqrt{29} + 5} $$

Получаем координаты точки D($$ \frac{5\sqrt{29} + 30}{\sqrt{29} + 5}; \frac{6\sqrt{29} + 5}{\sqrt{29} + 5} $$). Для упрощения, можно оценить значение $$ \sqrt{29} \approx 5.4 $$.

$$ x \approx \frac{5(5.4) + 30}{5.4 + 5} = \frac{27 + 30}{10.4} = \frac{57}{10.4} \approx 5.48 $$ $$ y \approx \frac{6(5.4) + 5}{5.4 + 5} = \frac{32.4 + 5}{10.4} = \frac{37.4}{10.4} \approx 3.6 $$

D(5.48; 3.6)

5. Теперь найдем длину биссектрисы AD.

$$ AD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(5.48 - 1)^2 + (3.6 - 3)^2} = \sqrt{(4.48)^2 + (0.6)^2} = \sqrt{20.07 + 0.36} = \sqrt{20.43} \approx 4.52 $$

Округлим до целого числа: 5.

Ответ: 5