12 Тип 12 і Найдите точку максимума функции y = (x-2)² (x-4) +5.

Для нахождения точки максимума функции необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и решить уравнение. Найденные корни будут являться точками экстремума. Затем необходимо определить, какая из этих точек является точкой максимума.

1) Найдем производную функции y = (x-2)²(x-4) + 5:

$$y' = ((x-2)^2)'(x-4) + (x-2)^2(x-4)' + 0$$

$$y' = 2(x-2)(x-4) + (x-2)^2$$ $$y' = 2(x^2 - 6x + 8) + x^2 - 4x + 4$$ $$y' = 2x^2 - 12x + 16 + x^2 - 4x + 4$$ $$y' = 3x^2 - 16x + 20$$

2) Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$$3x^2 - 16x + 20 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-16)^2 - 4 * 3 * 20 = 256 - 240 = 16$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{16 + \sqrt{16}}{2 * 3} = \frac{16 + 4}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{16 - \sqrt{16}}{2 * 3} = \frac{16 - 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

3) Теперь определим, какая из этих точек является точкой максимума. Для этого найдем вторую производную функции:

$$y'' = (3x^2 - 16x + 20)' = 6x - 16$$

Подставим найденные значения x в y'' и определим знак:

$$y''(2) = 6 * 2 - 16 = 12 - 16 = -4 < 0$$

$$y''(3\frac{1}{3}) = 6 * \frac{10}{3} - 16 = 20 - 16 = 4 > 0$$

Так как y''(2) < 0, то x = 2 - точка максимума.

Ответ: 2