11 Тип 17 і Площадь прямоугольно- го треугольника равна 98√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу. Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Катет, прилежащий к углу 60°, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла: $$a = c \cdot cos60°$$, где $$c$$ - гипотенуза, $$a$$ - прилежащий катет.

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$tg \alpha = \frac{b}{a}$$, где $$a$$ - прилежащий катет, $$b$$ - противолежащий катет, $$\alpha$$ - угол.

1) Пусть $$a$$ - прилежащий катет, $$b$$ - противолежащий катет.

Выразим противолежащий катет через прилежащий:

$$tg 60° = \frac{b}{a}$$, откуда $$b = a \cdot tg 60° = a \cdot \sqrt{3}$$.

2) Подставим в формулу площади:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a \cdot a \cdot \sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$$.

$$98\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$$, откуда $$a^2 = 196$$, $$a = \sqrt{196} = 14$$.

Ответ: 14