15 Тип 15 і В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 24, а высо- та CH, опущенная на гипотенузу, равна 6√15. Найдите sin ∠ABC.

Дано: прямоугольный треугольник ABC, AC = 24, CH = 6√15, CH ⊥ AB.

Найти: sin∠ABC.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

sin∠ABC = AC/AB. Нужно найти AB.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

S = 1/2 * AC * BC и S = 1/2 * AB * CH

Приравняем правые части этих формул: 1/2 * AC * BC = 1/2 * AB * CH

AC * BC = AB * CH

Выразим AB: AB = (AC * BC) / CH

Из прямоугольного треугольника ACH по теореме Пифагора найдем AH.

AH = √(AC² - CH²) = √(24² - (6√15)²) = √(576 - 36 * 15) = √(576 - 540) = √36 = 6

Выразим BC² через AB:

BC² = AB² - AC²

Подставим известные значения в формулу AB = (AC * BC) / CH:

AB = (24 * √(AB² - 24²)) / (6√15)

AB * 6√15 = 24 * √(AB² - 24²)

AB * √15 = 4 * √(AB² - 24²)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(AB * √15)² = (4 * √(AB² - 24²))²

15 * AB² = 16 * (AB² - 24²)

15 * AB² = 16 * AB² - 16 * 576

AB² = 16 * 576

AB = √(16 * 576) = 4 * 24 = 96

sin∠ABC = AC / AB = 24 / 96 = 1 / 4 = 0.25

Ответ: 0.25