5 Тип 5 і В треугольнике АВС стороны АВ И ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и /ВАХ = ∠YAX. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 6. В ответе запишите найденное значение, умноженное на √3.

Решение:

Краткое пояснение: Нужно найти длину отрезка AY, зная, что AX = BX, углы ∠BAX = ∠YAX и ∠ACB = 75°.

• Пусть ∠BAX = ∠YAX = α. Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA = 75°.
• ∠ABC = 180° - 2 * 75° = 30°.
• В треугольнике ABX, AX = BX, следовательно, треугольник ABX равнобедренный, и углы при основании AB равны: ∠BAX = ∠ABX = α.
• ∠AXB = 180° - 2α.
• Так как ∠ABC = 30°, то α < 30°.
• ∠BAC = ∠BAX + ∠XAC = 75° => α + ∠XAC = 75° => ∠XAC = 75° - α.
• Рассмотрим треугольники ABX и AXY: AX = BX (дано), ∠BAX = ∠YAX = α (дано), AY - общая сторона.

Рассмотрим треугольники ABX и AXY:

• AX = 6 (дано)
• ∠BAX = ∠YAX = α (дано)

Нужно доказать, что треугольники ABX и AXY равны, чтобы найти AY.

∠BCA = 75°

Треугольник AXB равнобедренный, значит ∠BAX = ∠ABX = α

∠AXB = 180 - 2α

Из треугольника ABC ∠BAC = 75°, тогда ∠XAC = 75 - α

∠YAX = α, значит ∠CAY = 75 - 2α

Рассмотрим треугольник AXY:

• ∠YAX = α
• AX = 6

Т.к. ∠BAX = ∠YAX, то AY - биссектриса угла BAC.

Если ∠BAX = ∠YAX, то ∠BXY = ∠AXY

AX = BX = 6, тогда треугольник ABX - равнобедренный.

Предположим, что треугольники ABX и AXY равны, тогда AY = AB.

В треугольнике ABX ∠ABX = ∠BAX = α, а ∠AXB = 180 - 2α

Тогда ∠AXB + ∠AXY = 180° (смежные)

∠AXY = 180 - (180 - 2α) = 2α

В треугольнике AXY:

• ∠YAX = α
• ∠AXY = 2α
• AX = 6

Найдем AY:

Из теоремы синусов:

AY / sin(2α) = AX / sin(∠AYX)

Сложно...Подумаем еще...

Т.к. AХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX, то треугольник ABX = треугольнику AYX (по двум сторонам и углу между ними).

Тогда АВ = АY.

И треугольник ABX = треугольнику AYX, значит XY = BX = 6.

∠ACB = 75, значит ∠CAB = 75 (т.к. треугольник равнобедренный).

∠ABC = 180 - 75 - 75 = 30.

В треугольнике ABX:

• AB = AY
• AX = BX = 6
• ∠ABX = α

Т.к. AX = BX = 6, то треугольник ABX - равнобедренный, значит ∠BAX = ∠ABX = α.

Тогда ∠AXB = 180 - 2α

Т.к. ∠ABC = 30, то α < 30

Возьмем треугольник AXY:

• AX = 6
• AY = AB
• XY = 6

Рассмотрим треугольник ABX:

AX = BX = 6, ∠ACB = 75, ∠BAX = ∠YAX

Если треугольники ABX и AYX равны, то AB = AY.

AY = AB = 6 / (2 * cos(15)) = 6 / (sqrt(2 + sqrt(3))) = 6sqrt(2 - sqrt(3))

AY * sqrt(3) = 6sqrt(6 - 3sqrt(3))

Так как треугольник ABX равнобедренный (AX = BX), то углы при основании равны ∠BAX = ∠ABX

По условию ∠BAX = ∠YAX

Рассмотрим треугольники ABX и AYX - у них сторона AX общая, AX = BX, AY - тоже общая, ∠BAX = ∠YAX, тогда эти треугольники равны.

Тогда AB = AY

Т.к. АВ = ВС, то АY = ВС

AB = 6, значит AY = 6

AY * sqrt(3) = 6 * sqrt(3)

Ответ: 6\(\sqrt{3}\)