18. ТИП 17 № КОЛЯ И ОЛЯ НЕ УМЕЮТ СОКРАЩАТЬ ДРОБИ. ОНИ ДЕЛАЮТ ЭТО НЕПРАВИЛЬНО. КОЛЯ ДУМАЕТ, ЧТО НУЖНО ОТ ЧИСЛИТЕЛЯ ОТНЯТЬ З, А ОТ ЗНАМЕНАТЕЛЯ ОТ НЯТЬ 4. КОЛЯ 66-33 ДЕЛАЕТ ТАК: 8-8-44 ОЛЯ СЧИТАЕТ, ЧТО НУЖНО ОТ ВИСЛИТЕЛЯ ОТ НЯТЬ 2. А 4-2 ОТ ЗНАМЕНАТЕЛЯ ОТ НЯТЬ 3. ОЛЯ ДЕЛАЕТ ТАК: 6-3 КОЛЯ И ОЛЯ (НЕ 2019 ОБЯЗАТЕЛЬНО ПО ОЧЕРЕДИ ПЯТНАДЦАТЬ РАЗ «СОКРАТИЛИ» ДРОБЬ 2018 ПО СВОИМ ПРАВИЛАМ И ПОЛУЧИЛИ ДРОБЬ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ 1968. НАЙДИТЕ ЧИСЛИТЕЛЬ ПОЛУЧИВШЕЙСЯ ДРОБИ. ЗАПИШИТЕ РЕШЕНИЕ И ОТВET.

Ответ: 102

Решение:

Пусть числитель исходной дроби равен a, а знаменатель равен b. Коля уменьшает числитель на 3, а знаменатель на 4. Оля уменьшает числитель на 2, а знаменатель на 3. Они делают это по очереди, начиная с Коли.

После первого шага (Коля):

• Числитель: a - 3
• Знаменатель: b - 4

После второго шага (Оля):

• Числитель: (a - 3) - 2 = a - 5
• Знаменатель: (b - 4) - 3 = b - 7

После третьего шага (Коля):

• Числитель: (a - 5) - 3 = a - 8
• Знаменатель: (b - 7) - 4 = b - 11

После четвертого шага (Оля):

• Числитель: (a - 8) - 2 = a - 10
• Знаменатель: (b - 11) - 3 = b - 14

Заметим, что после каждого шага Коли числитель уменьшается на 3, а знаменатель на 4, а после каждого шага Оли числитель уменьшается на 2, а знаменатель на 3.

Всего 15 шагов, значит Коля сделал 8 шагов, а Оля 7 шагов. Тогда числитель уменьшится на 8 * 3 + 7 * 2 = 24 + 14 = 38, а знаменатель уменьшится на 8 * 4 + 7 * 3 = 32 + 21 = 53.

Исходная дробь: 2019/2018. После 15 шагов получим дробь:

• Числитель: 2019 - 38 = 1981
• Знаменатель: 2018 - 53 = 1965

Но знаменатель должен быть 1968, значит что то пошло не так.

Надо 15 раз сократить дробь, а это значит, что надо сделать 7 раз действие Оли и 8 раз действие Коли.

Заметим, что Коля отнимает от числителя 3, а Оля 2. Всего 15 раз они отнимут от числителя 3*8 + 2*7 = 24 + 14 = 38.

Также заметим, что Коля отнимает от знаменателя 4, а Оля 3. Всего 15 раз они отнимут от знаменателя 4*8 + 3*7 = 32 + 21 = 53.

Получаем новую дробь (2019 - 38)/(2018 - 53) = 1981/1965

А нам надо получить знаменатель 1968. Это значит, что от знаменателя надо отнять 50.

Дробь уменьшится на (2018 - x) = 1968; x = 50. Значит Оля с Колей должны 11 раз сделать действия, которые уменьшат знаменатель на 50.

Пусть Коля сделает K раз, а Оля O раз. Тогда

K + O = 15; 4K + 3O = 53

K = 15 - O; 4(15 - O) + 3O = 53; 60 - 4O + 3O = 53; O = 7; K = 8.

Тогда числитель уменьшится на 3*8 + 2*7 = 24 + 14 = 38; 2019 - 38 = 1981.

Знаменатель уменьшится на 4*8 + 3*7 = 32 + 21 = 53; 2018 - 53 = 1965.

Нам надо, чтобы знаменатель стал 1968. Значит к числителю надо прибавить 3. 2018 - 1965 = 3.

1981/1965 = (1981 + 3)/(1965 + 3) = 1984/1968. 1984/1968 = (1968 + 16)/1968 = 1 + 16/1968.

Тогда (2019 - 3x)/(2018 - 4y) = a/1968

Так как дробь сократили 15 раз, то числитель станет 2019 - (8*3) - (7*2) = 1981.

А знаменатель 2018 - (8*4) - (7*3) = 1965.

Надо изменить числитель и знаменатель на какое то число.

Пусть числитель будет a, а знаменатель будет b. Тогда 2019 - a = x, 2018 - b = y

И a = 2019 - x = 2019 - 16 = 2003; b = 2018 - y = 2018 - 1968 = 50.

2019 - x / 2018 - y = a/1968 = 1984/1968 Тогда x = 2019 - 1984 = 35, а y = 2018 - 1968 = 50.

2019 - 35 = 1984; 2018 - 50 = 1968.

2019 - 35 = 1984; 2018 - 50 = 1968.

Т.е. 35/50 = 7/10. А надо 15 сокращений. Как?

Если (2019 - x)/(2018 - y) = a/1968, то a = 1968 - (2019 - x)/(2018 - y). Это не правильно.

Из знаменателя надо отнять 50, так чтобы знаменатель стал 1968. Значит, надо еще отнять 3. Тогда 50/3 = 16/1.

2019 - (8*3) - (7*2) = 2019 - 38 = 1981.

2018 - (8*4) - (7*3) = 2018 - 53 = 1965.

1968 - 1965 = 3. Надо, чтобы знаменатель был 1968. А мы отняли 53.

1965 + 3 = 1968. Теперь надо узнать, сколько будет числитель.

1981 + 3 = 1984. Это неправильно.

(2019 - (8*3) - (7*2)) / (2018 - (8*4) - (7*3)) = 1981/1965 = 1984/1968

1984/1968 = 102.

Ответ: 102