Тип 13 № 701422 а) Решите уравнение: sin(x + π/6) - √3 sin(π - x) = 0.

Решение:

1. Используем формулу синуса суммы: \( \sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} \).
2. Вычисляем значения косинуса и синуса \( \frac{\pi}{6} \): \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
3. Используем формулу синуса разности: \( \sin(\pi - x) = \sin x \).
4. Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: \( \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \sin x = 0 \).
5. Упрощаем уравнение: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \).
6. Приводим подобные слагаемые: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 0 \).
7. Делим обе части уравнения на \( \frac{1}{2} \): \( -\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \).
8. Переносим \( \cos x \) в правую часть: \( -\sqrt{3} \sin x = -\cos x \).
9. Делим обе части на \( -\cos x \) (предполагая, что \( \cos x
   e 0 \)): \( \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \).
10. Получаем \( \sqrt{3} \tan x = 1 \).
11. Находим \( \tan x \): \( \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
12. Находим \( x \) из основного тригонометрического уравнения: \( x = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
13. Таким образом, \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
14. Проверим условие \( \cos x
    e 0 \). Если \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n \), то \( \cos(\frac{\pi}{6} + \pi n)
    e 0 \), так как \( \frac{\pi}{6} + \pi n \) не равно \( \frac{\pi}{2} + \pi k \) для любого целого \( n \) и \( k \).

Ответ: x = \( \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).