Тип 14 № 555583. а) Решите уравнение $2^{2x^2}-(2^3+2^8)\cdot2^{x^2+2x}+2^{11+4x}=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(1+\log_2 0{,}25;\log_2 16{,}1]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Тип 14 № 555583. а) Решите уравнение $2^{2x^2}-(2^3+2^8)\cdot2^{x^2+2x}+2^{11+4x}=0$. б) Укажите корни этого уравнения,…$ Фото задания

Тип 14 № 555583. а) Решите уравнение $2^{2x^2}-(2^3+2^8)\cdot2^{x^2+2x}+2^{11+4x}=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(1+\log_2 0{,}25;\log_2 16{,}1]$.

Accepted Answer

а) Разделим уравнение на положительное число $2^{x^2+2x}$:

$2^{x^2-2x}-(2^3+2^8)+2^{11+2x-x^2}=0$.

Положим $t=2^{x^2-2x}$, где $t>0$. Тогда $2^{11+2x-x^2}=\dfrac{2^{11}}{t}$, и получаем:

$t-264+\dfrac{2048}{t}=0$,
$t^2-264t+2048=0$.

Дискриминант: $D=264^2-4\cdot2048=248^2$. Поэтому $t=256$ или $t=8$.

Если $2^{x^2-2x}=256=2^8$, то $x^2-2x=8$, откуда $x=-2$ или $x=4$.

Если $2^{x^2-2x}=8=2^3$, то $x^2-2x=3$, откуда $x=-1$ или $x=3$.

Ответ: а) $x\in\{-2,-1,3,4\}$.

б) Границы промежутка равны $1+\log_2 0{,}25=-1$ и $\log_2 16{,}1$. Следовательно, промежуток — $(-1;\log_2 16{,}1]$. Из найденных корней ему принадлежат $3$ и $4$: число $-1$ исключено левой круглой скобкой, а $\log_2 16{,}1>4$.

Ответ: б) $3; 4$.

Тип 14 № 555583. а) Решите уравнение \(2^{2x^2}-(2^3+2^8)\cdot2^{x^2+2x}+2^{11+4x}=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((1+\log_2 0{,}25;\log_2 16{,}1]\).

Ответ: