Тип 14 № 562032. а) Решите уравнение \((x^2+4x-2)(4^{3x+1}+8^{2x-1}-11)=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-0{,}5;0{,}5]\).

а) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый множитель:

\(x^2+4x-2=0\). Тогда \(D=4^2-4\cdot1\cdot(-2)=24\), поэтому \(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{24}}{2}=-2\pm\sqrt6\).

Второй множитель перепишем через основание 2:

\(4^{3x+1}+8^{2x-1}-11=2^{6x+2}+2^{6x-3}-11=33\cdot2^{6x-3}-11=0\).

Отсюда \(2^{6x-3}=\dfrac13\), следовательно, \(6x-3=-\log_2 3\), и \(x=\dfrac{3-\log_2 3}{6}\).

Ответ: а) \(x=-2-\sqrt6,\;-2+\sqrt6,\;\dfrac{3-\log_2 3}{6}\).

б) Из корней первого множителя в отрезок \([-0{,}5;0{,}5]\) входит только \(-2+\sqrt6\approx0{,}45\); корень \(-2-\sqrt6\) меньше \(-0{,}5\). Корень второго множителя \(\dfrac{3-\log_2 3}{6}\approx0{,}236\) также принадлежит отрезку.

Ответ: б) \(-2+\sqrt6;\;\dfrac{3-\log_2 3}{6}\).