Тип 15 № 340000. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим второй катет \(BC=x\), а гипотенузу \(AB=c\). Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

\(\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot CH}{2}\), поэтому \(35x=14\sqrt6\,c\).

По теореме Пифагора \(c^2=35^2+x^2\). Возведём равенство \(35x=14\sqrt6\,c\) в квадрат:

\(1225x^2=1176c^2=1176(1225+x^2)\).

\(49x^2=1176\cdot1225\), откуда \(x^2=29400\). Тогда \(c^2=1225+29400=30625\), следовательно, \(c=175\).

Синус угла B равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB:

\(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{35}{175}=\frac15\).

Ответ: \(\frac15\).