Тип 16 № 351034. Площадь прямоугольного треугольника равна 72√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите катет, прилежащий к этому углу.

Обозначим искомый катет через x, а второй катет — через y.

Так как угол равен 60°, отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу этого угла: \(y=x\sqrt{3}\).

Подставим катеты в формулу площади прямоугольного треугольника:

\(\frac{xy}{2}=72\sqrt{3}\), значит \(\frac{x\cdot x\sqrt{3}}{2}=72\sqrt{3}\).

Сокращаем на \(\sqrt{3}\): \(x^2=144\), откуда \(x=12\), поскольку длина положительна.

Ответ: 12.