Тип 13 А) Решите уравнение: cos2x = sin 2x. Б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; 3].

Решаем уравнение cos2x = sin2x:

Логика такая: нужно свести уравнение к виду tg(x) = a, а затем найти корни на заданном промежутке.

• Разделим обе части уравнения на cos2x (предполагая, что cos2x ≠ 0):
  1 = tg2x
• tg2x = 1

Решение:

2x = \(\frac{\pi}{4} + \pi n\), где n — целое число.

x = \(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}\)

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку [0; 3].

Переведем 3 в радианы (примерно): 3 ≈ 0.95π

Подставляем значения n:

• n = 0: x = \(\frac{\pi}{8}\) (подходит, так как \(\frac{\pi}{8}\) ≈ 0.39, что меньше 3)
• n = 1: x = \(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8}\) (подходит, так как \(\frac{5\pi}{8}\) ≈ 1.96, что меньше 3)
• n = 2: x = \(\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{9\pi}{8}\) (подходит, так как \(\frac{9\pi}{8}\) ≈ 3.53, что больше 3)

Таким образом, корнями уравнения на промежутке [0; 3] являются x = \(\frac{\pi}{8}\) и x = \(\frac{5\pi}{8}\).

Ответ: x = \(\frac{\pi}{8}\); x = \(\frac{5\pi}{8}\)