15 Тип Д9 № 323344 i Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Ответ: 16

Решение:

• Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как: \[S = \frac{1}{2}ab\]
• Из условия задачи, площадь равна 32√3, поэтому: \[\frac{1}{2}ab = 32\sqrt{3}\] \[ab = 64\sqrt{3}\]
• Один из острых углов равен 30°. Пусть угол напротив катета a равен 30°. Тогда: \[\sin(30^\circ) = \frac{a}{c}\] \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), следовательно: \[a = \frac{1}{2}c\]
• Подставим выражение для a в уравнение для площади: \[(\frac{1}{2}c)b = 64\sqrt{3}\] \[cb = 128\sqrt{3}\]
• Также, можно выразить катет b через гипотенузу c и угол 30°: \[\cos(30^\circ) = \frac{b}{c}\] \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно: \[b = \frac{\sqrt{3}}{2}c\]
• Подставим это выражение в уравнение: \[c(\frac{\sqrt{3}}{2}c) = 128\sqrt{3}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}c^2 = 128\sqrt{3}\] \[c^2 = \frac{128\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}}\] \[c^2 = 256\] \[c = \sqrt{256}\] \[c = 16\]

Ответ: 16