Тип Д2 № 509035 Функция y = f(x) определена на промежутке (-6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение.

Решение:

Нам дан график производной функции \( y = f'(x) \). Функция \( y = f(x) \) будет принимать наибольшее значение там, где ее производная \( f'(x) \) меняет знак с минуса на плюс (то есть, где \( f'(x) \) равна нулю и переходит от отрицательных значений к положительным), или на границах промежутка, если производная не меняет знак. Однако, в данном случае, нам нужно найти точку, где функция \( f(x) \) принимает наибольшее значение, что соответствует точке минимума на графике её производной, если мы ищем локальный максимум, или же на концах промежутка. В данном контексте, наибольшее значение функции \( f(x) \) достигается на концах промежутка \( [-6; 4] \) или в точках, где \( f'(x) = 0 \) и \( f(x) \) имеет локальный максимум. Точки, где \( f'(x) = 0 \) — это точки экстремума функции \( f(x) \).

Анализируем график \( f'(x) \) на промежутке \( [-6; 4] \):

• Функция \( f(x) \) возрастает, когда \( f'(x) > 0 \).
• Функция \( f(x) \) убывает, когда \( f'(x) < 0 \).

Нам нужно найти абсциссу точки, где \( f(x) \) принимает наибольшее значение. Это может быть точка максимума функции \( f(x) \) или одна из граничных точек промежутка.

Точки, где \( f'(x) = 0 \) (нулевые точки производной), это потенциальные точки экстремума функции \( f(x) \).

Из графика видно, что \( f'(x) = 0 \) примерно в точках \( x = -4 \) и \( x = 2 \). Также \( f'(x) = 0 \) приблизительно в точке \( x ≈ 3.5 \).

Рассмотрим знаки \( f'(x) \) на промежутке \( (-6; 4) \):

• На промежутке \( (-6; -4) \), \( f'(x) > 0 \), значит \( f(x) \) возрастает.
• На промежутке \( (-4; 2) \), \( f'(x) < 0 \), значит \( f(x) \) убывает.
• На промежутке \( (2; 4) \), \( f'(x) < 0 \), значит \( f(x) \) убывает.

Таким образом, \( x = -4 \) — точка локального максимума функции \( f(x) \).

Теперь сравним значения функции \( f(x) \) на концах промежутка и в точке локального максимума. Чтобы определить, где \( f(x) \) принимает наибольшее значение, нужно сравнить значение \( f(-6) \), \( f(-4) \) и \( f(4) \).

Так как \( f'(x) \) отрицательна на \( (-4; 4) \) (кроме точки \( x=2 \) где \( f'(x) = 0 \)), функция \( f(x) \) убывает после \( x = -4 \) до \( x = 4 \).

Это означает, что наибольшее значение \( f(x) \) будет либо в точке \( x = -6 \) (начало промежутка), либо в точке локального максимума \( x = -4 \).

Чтобы функция \( f(x) \) достигла наибольшего значения, нам нужно найти точку, где \( f'(x) \) меняет знак с положительного на отрицательный, или самую крайнюю точку, если функция монотонно возрастает/убывает до неё.

Из графика следует, что \( f'(x) \) положительна на \( [-6, -4) \) и отрицательна на \( (-4, 4] \). Это значит, что \( f(x) \) возрастает до \( x = -4 \) и убывает после \( x = -4 \).

Следовательно, точка \( x = -4 \) является точкой глобального максимума на промежутке \( [-6, 4] \).

Ответ: -4