9. Тип В № 8139 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла В, если DA = 12, а АС = 24. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• В прямоугольном треугольнике \(ADC\) найдем тангенс угла \(A\):\[\tan A = \frac{DC}{AD}\]
• Чтобы найти \(DC\), рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\). Высота \(CD\) является проекцией катета \(AC\) на гипотенузу \(AB\). Воспользуемся свойством высоты, проведенной из прямого угла:\[AC^2 = AD \cdot AB\]
• Выразим \(AB\) через \(AD\) и \(AC\):\[AB = \frac{AC^2}{AD} = \frac{24^2}{12} = \frac{576}{12} = 48\]
• Найдем длину отрезка \(DB\):\[DB = AB - AD = 48 - 12 = 36\]
• Теперь найдем \(DC\) как среднее пропорциональное между \(AD\) и \(DB\):\[DC^2 = AD \cdot DB = 12 \cdot 36 = 432\]\[DC = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}\]
• Теперь найдем тангенс угла \(A\) в треугольнике \(ADC\):\[\tan A = \frac{DC}{AD} = \frac{12\sqrt{3}}{12} = \sqrt{3}\]
• Угол, тангенс которого равен \(\sqrt{3}\), равен 60 градусам:\[A = 60^\circ\]
• Так как в прямоугольном треугольнике \(ABC\) сумма острых углов равна 90 градусам, то угол \(B\) равен:\[B = 90^\circ - A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]

Ответ: 30°