Типовая задача Основания трапеции равны 20 см и 60 см, а боковые стороны 13 см и 37 см. Найдите площадь трапе- ции. Решение.

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 60 см, BC = 20 см, AB = 13 см, CD = 37 см. Необходимо найти площадь трапеции.

1) Проведем высоты BH и CF. Тогда AH + FD = AD - BC = 60 - 20 = 40 см.

2) Пусть AH = x, тогда FD = 40 - x.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: $$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2$$

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник CDF: $$CF^2 = CD^2 - FD^2 = 37^2 - (40 - x)^2 = 1369 - (1600 - 80x + x^2) = -231 + 80x - x^2$$

5) Так как BH = CF, приравняем выражения для BH^2 и CF^2: $$169 - x^2 = -231 + 80x - x^2$$

$$169 + 231 = 80x$$

$$400 = 80x$$

$$x = 5$$

Следовательно, AH = 5 см.

6) Теперь найдем высоту BH: $$BH = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см.

7) Площадь трапеции равна: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{20 + 60}{2} \cdot 12 = \frac{80}{2} \cdot 12 = 40 \cdot 12 = 480$$ см^2.

Ответ: 480 см^2