Точечный источник света расположен на расстоянии 0,5 м от диска. Тень от этого диска падает на экран, который располагается на расстоянии 0,2 м. Экран начинают удалять со скоростью 1 см/с. Через какое время площадь тени на экране увеличится в 2 раз(-а)?

Решение:

Пусть \( R \) — радиус диска, \( d_1 \) — расстояние от источника до диска, \( d_2 \) — расстояние от диска до экрана. Радиус тени \( r \) на экране связан с \( R \) соотношением подобных треугольников:

\[ \frac{r}{d_1 + d_2} = \frac{R}{d_1} \]

Площадь тени \( S \) равна \( S = \pi r^2 \).

Исходные данные:

• \( d_1 = 0.5 \) м


• \( d_2 = 0.2 \) м


• Скорость удаления экрана \( v = 1 \) см/с = \( 0.01 \) м/с

Найдем начальный радиус тени \( r_1 \):

\[ r_1 = R \frac{d_1}{d_1} = R \cdot \frac{0.5}{0.5} = R \]

Площадь тени \( S_1 = \pi R^2 \).

Пусть \( t \) — время в секундах. Тогда новое расстояние от диска до экрана будет \( d_{2,t} = d_2 + vt = 0.2 + 0.01t \).

Новый радиус тени \( r_t \) будет:

\[ r_t = R \frac{d_1}{d_1 + d_{2,t}} = R \frac{0.5}{0.5 + 0.2 + 0.01t} = R \frac{0.5}{0.7 + 0.01t} \]

Новая площадь тени \( S_t = \pi r_t^2 \):

\[ S_t = \pi \left( R \frac{0.5}{0.7 + 0.01t} \right)^2 = \pi R^2 \frac{0.25}{(0.7 + 0.01t)^2} \]

По условию, площадь тени увеличится в 2 раза, то есть \( S_t = 2 S_1 \).

\[ \pi R^2 \frac{0.25}{(0.7 + 0.01t)^2} = 2 \pi R^2 \]

Сократим \( \pi R^2 \) (поскольку \( R \neq 0 \)):

\[ \frac{0.25}{(0.7 + 0.01t)^2} = 2 \]

\[ (0.7 + 0.01t)^2 = \frac{0.25}{2} = 0.125 \]

\[ 0.7 + 0.01t = \sqrt{0.125} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.35355 \]

Это неверно. Пересмотрим условие.

Повторное решение:

Пусть \( R \) — радиус диска, \( L_1 \) — расстояние от источника до диска, \( L_2 \) — расстояние от диска до экрана.

Подобные треугольники дают:

\[ \frac{\text{радиус тени}}{\text{расстояние от источника до края тени}} = \frac{R}{L_1} \]

Радиус тени \( r = R \frac{L_1 + L_2}{L_1} \).

Площадь тени \( S = \pi r^2 \).

Исходные данные:

• \( L_1 = 0.5 \) м (расстояние от источника до диска)


• \( L_2 = 0.2 \) м (начальное расстояние от диска до экрана)


• Скорость удаления экрана \( v = 1 \) см/с = \( 0.01 \) м/с

Начальный радиус тени \( r_1 \) на экране (который находится на расстоянии \( L_1 + L_2 \) от источника):

\[ r_1 = R \frac{L_1 + L_2}{L_1} = R \frac{0.5 + 0.2}{0.5} = R \frac{0.7}{0.5} = 1.4 R \]

Начальная площадь тени \( S_1 = \pi r_1^2 = \pi (1.4 R)^2 = 1.96 \pi R^2 \).

Экран начинают удалять со скоростью \( v = 0.01 \) м/с. Через время \( t \) новое расстояние от диска до экрана будет \( L_{2,t} = L_2 + vt = 0.2 + 0.01t \).

Новое расстояние от источника до экрана: \( L_{1,t} + L_{2,t} = 0.5 + (0.2 + 0.01t) = 0.7 + 0.01t \).

Новый радиус тени \( r_t \):

\[ r_t = R \frac{L_{1,t} + L_{2,t}}{L_1} = R \frac{0.7 + 0.01t}{0.5} \]

Новая площадь тени \( S_t = \pi r_t^2 \):

\[ S_t = \pi \left( R \frac{0.7 + 0.01t}{0.5} \right)^2 \]

По условию, площадь тени должна увеличиться в 2 раза, то есть \( S_t = 2 S_1 \).

\[ \pi \left( R \frac{0.7 + 0.01t}{0.5} \right)^2 = 2 \cdot (1.96 \pi R^2) \]

\[ \frac{(0.7 + 0.01t)^2}{0.5^2} = 2 \times 1.96 = 3.92 \]

\[ (0.7 + 0.01t)^2 = 3.92 \times 0.25 = 0.98 \]

\[ 0.7 + 0.01t = \sqrt{0.98} \]

\[ 0.7 + 0.01t \approx 0.9899 \]

\[ 0.01t \approx 0.9899 - 0.7 \]

\[ 0.01t \approx 0.2899 \]

\[ t \approx \frac{0.2899}{0.01} = 28.99 \]

Округляем до целого числа: \( t \approx 29 \) с.

Ответ: 29 с.